記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：45, 22, 35, 24, 34, 57。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 15 の正規分布に従います。55 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 15x = 55
P =
3.確率ふつう
袋に赤玉 3 個と青玉 4 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
3 / 4
P =
4.確率むずかしい
部品を 12 個試験し、各部品は独立に確率 0.1 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 12p = 0.1
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.8611 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.8611
z =
6.正規分布むずかしい
ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.信頼区間ふつう
25 個からなる標本の平均は 108、標準偏差は s = 5.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 25x̄ = 108s = 5.595%t(24) = 2.064
下限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 13 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 13E = 2.595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 118.9、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 118.9s = 12n = 100
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 300 人中 45 人、治療 B の患者 300 人中 30 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 30n₂ = 300
z =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 25Σy = 296Σx² = 135Σy² = 17626Σxy = 1503
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 18 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 18
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 13.17
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 217/6 = 36.17
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 8.833² + (−14.17)² + (−1.167)² + (−12.17)² + (−2.167)² + 20.83² = 866.8
標準偏差
s = √(866.8/5) = 13.17
答え
s = 13.17
2.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1
標準正規分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答え
P = 0.1587
3.確率
答え: P = 0.1429
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0.1429
答え
P = 0.1429
4.確率
答え: P = 0.659
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.912 = 0.2824
P(X = 1) = 12·0.1·0.911 = 0.3766
足し合わせる
P = 0.2824 + 0.3766 = 0.659
答え
P = 0.659
5.正規分布
答え: z = 1.48
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.8611)/2 = 0.9306
z 表を逆に読む
表の中で 0.9306 を見つけ、z を読み取ります。
z = 1.48
答え
z = 1.48
6.正規分布
答え: P = 0.8413
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
標準化する
z = (0 − 10)/10 = −1
確率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答え
P = 0.8413
7.信頼区間
答え: 下限 = 105.7
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 24, t = 2.064
誤差の幅
E = 2.064·5.5/√25 = 2.27
区間
108 ± 2.27 → [105.7, 110.3]
答え
下限 = 105.7
8.信頼区間
答え: n = 104
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·13/2.5)² = 103.9
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 104
答え
n = 104
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.9167
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2
検定統計量
t = (118.9 − 120)/1.2 = −0.9167
答え
t = −0.9167
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.852
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率
p̂₁ = 45/300 = 0.15
p̂₂ = 30/300 = 0.1
p̂ = 75/600 = 0.125
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.125·0.875·(1/300 + 1/300)) = 0.027
検定統計量
z = (0.15 − 0.1)/0.027 = 1.852
答え
z = 1.852
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.7174
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 1503 − 25·296/5 = 23
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 17626 − 296²/5 = 102.8
相関係数
r = 23/√(10·102.8) = 0.7174
答え
r = 0.7174
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 52.82
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 428/6 = 71.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 324
回帰直線
b = 324/70 = 4.629
a = 71.33 − 4.629·22 = −30.5
ŷ = −30.5 + 4.629·x
予測
ŷ = −30.5 + 4.629·18 = 52.82
答え
ŷ = 52.82
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