統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：55, 48, 28, 59, 60, 52, 32。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。164 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 5x = 164

P =

3.確率ふつう

6 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 6k = 4

N =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 9 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.4 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 9p = 0.4k = 2

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.5878 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.5878

z =

6.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 75% がそれより下にある値 x（第 75 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

7.信頼区間ふつう

σ が既知のもとで 25 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 6.2 です。同じデータから求めた 99% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？

90%n₁ = 25E₁ = 6.299%

E₂ =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 22 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 22E = 0.599%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 100 人の標本の平均点は 196.7、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 200x̄ = 196.7s = 15n = 100

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

49 回の測定の標本平均は 103.3 です。母標準偏差は 10 です。平均の 90% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 103.3σ = 10n = 4990%

L =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 48Σy = 280Σx² = 454Σy² = 13512Σxy = 2410

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 69 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 69

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 12.82

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 334/7 = 47.71

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 7.286² + 0.2857² + (−19.71)² + 11.29² + 12.29² + 4.286² + (−15.71)² = 985.4

標準偏差

s = √(985.4/6) = 12.82

答え

s = 12.82

2.記述統計

答え: P = 0.8849

標準化する

z = −1.2

標準正規分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答え

P = 0.8849

3.確率

答え: N = 15

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

答え

N = 15

4.確率

答え: P = 0.1612

二項分布の公式

P(X = 2) = 36·0.4²·0.6⁷ = 36·0.16·0.02799 = 0.1612

答え

P = 0.1612

5.正規分布

答え: z = 0.82

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.5878)/2 = 0.7939

z 表を逆に読む

表の中で 0.7939 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.82

答え

z = 0.82

6.正規分布

答え: x = 182.7 cm

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

x に戻す

x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm

答え

x = 182.72 cm

7.信頼区間

答え: E₂ = 9.709

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/25) = 1.566

新しい誤差の幅

E₂ = 6.2·1.566 = 9.709

答え

E₂ = 9.709

8.信頼区間

答え: n = 12847

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·22/0.5)² = 12847

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 12847

答え

n = 12847

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.2

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5

検定統計量

t = (196.7 − 200)/1.5 = −2.2

答え

t = −2.2

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 101

誤差の幅

E = 1.645·10/√49 = 2.35

区間の端

L = 103.3 − 2.35 = 101

答え

L = 101

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9628

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 2410 − 48·280/6 = 170

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 13512 − 280²/6 = 445.3

相関係数

r = 170/√(70·445.3) = 0.9628

答え

r = 0.9628

12.線形回帰と相関

答え: x = 4.558

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 371/6 = 61.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118.5

回帰直線

b = 118.5/17.5 = 6.771

a = 61.83 − 6.771·3.5 = 38.13

ŷ = 38.13 + 6.771·x

x について解く

x = (69 − 38.13)/6.771 = 4.558

答え

x = 4.558

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