記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：44, 39, 23, 36, 45, 33, 60。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 40 の正規分布に従います。580 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 40x = 580
z =
3.確率ふつう
袋に赤玉 6 個と青玉 3 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
6 / 3
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.1 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 10p = 0.1k = 2
P =
5.正規分布ふつう
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。22.7 から 41 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 32σ = 6x1 = 22.7x2 = 41
P =
6.正規分布むずかしい
成人男性の身長 は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの上位 85% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
7.信頼区間ふつう
7 個からなる標本の平均は 48.5、標準偏差は s = 15 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 7x̄ = 48.5s = 1595%t(6) = 2.447
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 14 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 14E = 0.599%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 70.5、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 70.5s = 20n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 2.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 14 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 80%δ = 2.5σ = 14zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 15 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 5x = 15
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 11.52
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 280/7 = 40
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 4² + (−1)² + (−17)² + (−4)² + 5² + (−7)² + 20² = 796
標準偏差
s = √(796/6) = 11.52
答え
s = 11.52
2.記述統計
答え: z = 2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (580 − 500)/40 = 2
答え
z = 2
3.確率
答え: P = 0.4167
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0.4167
答え
P = 0.4167
4.確率
答え: P = 0.1937
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 2) = 45·0.12·0.98 = 45·0.01·0.4305 = 0.1937
答え
P = 0.1937
5.正規分布
答え: P = 0.8726
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (22.7 − 32)/6 = −1.55
z₂ = (41 − 32)/6 = 1.5
間の面積
P = Φ(1.5) − Φ(−1.55) = 0.9332 − 0.06057 = 0.8726
答え
P = 0.8726
6.正規分布
答え: x = 170.7 cm
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.15
表からの z
z ≈ −1.04
元の単位に戻す
x = 178 − 1.04·7 = 170.7 cm
答え
x = 170.7 cm
7.信頼区間
答え: 上限 = 62.37
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 6, t = 2.447
誤差の幅
E = 2.447·15/√7 = 13.87
区間
48.5 ± 13.87 → [34.63, 62.37]
答え
上限 = 62.37
8.信頼区間
答え: n = 5203
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·14/0.5)² = 5202
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 5203
答え
n = 5203
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.9
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
検定統計量
t = (70.5 − 75)/5 = −0.9
答え
t = −0.9
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 315
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 0.842)·14/2.5)² = 314.7
切り上げる
n = 315
答え
n = 315
11.線形回帰と相関
答え: r = −0.8321
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −6
Syy = Σ(y − ȳ)² = 5.2
相関係数
r = −6/√(10·5.2) = −0.8321
答え
r = −0.8321
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 45.8
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 286/5 = 57.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
回帰直線
b = 152/40 = 3.8
a = 57.2 − 3.8·18 = −11.2
ŷ = −11.2 + 3.8·x
予測
ŷ = −11.2 + 3.8·15 = 45.8
答え
ŷ = 45.8
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