統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：37, 48, 21, 54, 32。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 70、標準偏差 5 の正規分布に従います。72 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 70σ = 5x = 72

z =

3.確率ふつう

公正なさいころを 4 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 4

P =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.2 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 5p = 0.2k = 3

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.6915 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.6915

z =

6.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。色つきの上位 60% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点60%

x = 点

7.信頼区間ふつう

30 個からなる標本の平均は 53.5、標準偏差は s = 19 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 30x̄ = 53.5s = 1999%t(29) = 2.756

E =

8.信頼区間むずかしい

不良品の割合について事前には何もわかっていません。割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.03 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？

p = 0.5E = 0.0399%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 25 人の標本の平均点は 40.7、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 40.7s = 15n = 25

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

ある臨床試験で、治療 A の患者 150 人中 45 人、治療 B の患者 120 人中 29 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 45n₁ = 150x₂ = 29n₂ = 120

z =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 9 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 9

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 13.05

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 192/5 = 38.4

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−1.4)² + 9.6² + (−17.4)² + 15.6² + (−6.4)² = 681.2

標準偏差

s = √(681.2/4) = 13.05

答え

s = 13.05

2.記述統計

答え: z = 0.4

標準化する

z = (72 − 70)/5 = 0.4

答え

z = 0.4

3.確率

答え: P = 0.5177

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

答え

P = 0.5177

4.確率

答え: P = 0.0512

二項分布の公式

P(X = 3) = 10·0.2³·0.8² = 10·0.008·0.64 = 0.0512

答え

P = 0.0512

5.正規分布

答え: z = −0.5

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.6915 = 0.3085

z 表を逆に読む

表の中で 0.3085 を見つけ、z を読み取ります。

z = −0.50

答え

z = −0.50

6.正規分布

答え: x = 96.3 点

左側の面積

Φ(z) = 0.4

表からの z

z ≈ −0.25

元の単位に戻す

x = 100 − 0.25·15 = 96.3 点

答え

x = 96.3 点

7.信頼区間

答え: E = 9.56

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 29, t = 2.756

誤差の幅

E = 2.756·19/√30 = 9.56

答え

E = 9.56

8.信頼区間

答え: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 2.576²·0.5·0.5/0.03² = 1843

切り上げる

n = 1844

答え

n = 1844

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −3.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

検定統計量

t = (40.7 − 50)/3 = −3.1

答え

t = −3.1

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: z = 1.068

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 45/150 = 0.3

p̂₂ = 29/120 = 0.2417

p̂ = 74/270 = 0.2741

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.2741·0.7259·(1/150 + 1/120)) = 0.05463

検定統計量

z = (0.3 − 0.2417)/0.05463 = 1.068

答え

z = 1.068

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

11.線形回帰と相関

答え: r = −0.9943

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 97/5 = 19.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 97.2

相関係数

r = −31/√(10·97.2) = −0.9943

答え

r = −0.9943

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 24.74

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 115/6 = 19.17

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 195

回帰直線

b = 195/70 = 2.786

a = 19.17 − 2.786·7 = −0.3333

ŷ = −0.3333 + 2.786·x

予測

ŷ = −0.3333 + 2.786·9 = 24.74

答え

ŷ = 24.74

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