統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：19, 17, 27, 26, 44, 14, 40。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 10 の正規分布に従います。176 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 10x = 176

P =

3.確率ふつう

袋に赤玉 3 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

3 / 6

P =

4.確率むずかしい

部品を 5 個試験し、各部品は独立に確率 0.3 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 5p = 0.3

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9599 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9599

z =

6.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。全体の 10% がそれより下にある値 x（第 10 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 10%

x = 点

7.信頼区間ふつう

10 個からなる標本の平均は 76.5、標準偏差は s = 2.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 10x̄ = 76.5s = 2.599%t(9) = 3.25

上限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 16 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 16E = 1.595%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

10 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は −3.36、差の標準偏差は 7.6 です。H₀: μ_d = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 10d̄ = −3.36s_d = 7.6

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 12 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 12E = 395%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 7 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 7

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 11.48

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 187/7 = 26.71

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−7.714)² + (−9.714)² + 0.2857² + (−0.7143)² + 17.29² + (−12.71)² + 13.29² = 791.4

標準偏差

s = √(791.4/6) = 11.48

答え

s = 11.48

2.記述統計

答え: P = 0.2743

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答え

P = 0.2743

3.確率

答え: P = 0.08333

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0.08333

答え

P = 0.08333

4.確率

答え: P = 0.5282

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.7⁵ = 0.1681

P(X = 1) = 5·0.3·0.7⁴ = 0.3601

足し合わせる

P = 0.1681 + 0.3601 = 0.5282

答え

P = 0.5282

5.正規分布

答え: z = −1.75

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.9599 = 0.0401

z 表を逆に読む

表の中で 0.0401 を見つけ、z を読み取ります。

z = −1.75

答え

z = −1.75

6.正規分布

答え: x = 80.78 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

x に戻す

x = 100 + −1.282·15 = 80.78 点

答え

x = 80.78 点

7.信頼区間

答え: 上限 = 79.07

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 9, t = 3.25

誤差の幅

E = 3.25·2.5/√10 = 2.569

区間

76.5 ± 2.569 → [73.93, 79.07]

答え

上限 = 79.07

8.信頼区間

答え: n = 438

n について解く

n = (1.96·16/1.5)² = 437.1

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 438

答え

n = 438

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.398

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 7.6/√10 = 2.403

検定統計量

t = −3.36/2.403 = −1.398

答え

t = −1.398

df = 9 のとき、両側 5% の臨界値は 2.262 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 62

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

n について解く

n = (1.96·12/3)² = 61.47

切り上げる

n = 62

答え

n = 62

11.線形回帰と相関

答え: r = −0.9165

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 124/6 = 20.67

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 53.33

相関係数

r = −28/√(17.5·53.33) = −0.9165

答え

r = −0.9165

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 24.67

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 148/6 = 24.67

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

回帰直線

b = 206/70 = 2.943

a = 24.67 − 2.943·7 = 4.067

ŷ = 4.067 + 2.943·x

予測

ŷ = 4.067 + 2.943·7 = 24.67

答え

ŷ = 24.67

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