記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：18, 29, 29, 52, 16, 60, 39。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 12 の正規分布に従います。26 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50σ = 12x = 26
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.35, 0.2, 0.3
Var(X) =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 3X + 4 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.25, 0.1Y = 3X + 4
σY =
5.正規分布ふつう
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。169.95 から 185.35 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 178σ = 7x1 = 169.95x2 = 185.35
P =
6.正規分布むずかしい
走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.信頼区間ふつう
16 個からなる標本の平均は 111.5、標準偏差は s = 6.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 16x̄ = 111.5s = 6.595%t(15) = 2.131
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 33 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 33E = 595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 81 人の標本の平均点は 502.7、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 502.7s = 20n = 81
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
25 回の測定の標本平均は 50.9 です。母標準偏差は 15 です。平均の 95% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 50.9σ = 15n = 2595%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (22.5, 105) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(22.5, 105)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 16.59
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 243/7 = 34.71
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−16.71)² + (−5.714)² + (−5.714)² + 17.29² + (−18.71)² + 25.29² + 4.286² = 1651
標準偏差
s = √(1651/6) = 16.59
答え
s = 16.59
2.記述統計
答え: P = 0.02275
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −2
標準正規分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
答え
P = 0.02275
3.確率
答え: Var(X) = 112.8
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.15 + 20·0.35 + 30·0.2 + 40·0.3 = 26.5
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.15 + 400·0.35 + 900·0.2 + 1600·0.3 = 815
分散
Var(X) = 815 − 26.5² = 112.8
答え
Var(X) = 112.8
4.確率
答え: σY = 2.985
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 1.1, Var(X) = 0.99, σX = 0.995
一次変換
σY = |3|·0.995 = 2.985
答え
σY = 2.985
平均は変化します：E(Y) = 3·1.1 + 4 = 7.3。
5.正規分布
答え: P = 0.7281
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (169.95 − 178)/7 = −1.15
z₂ = (185.35 − 178)/7 = 1.05
間の面積
P = Φ(1.05) − Φ(−1.15) = 0.8531 − 0.1251 = 0.7281
答え
P = 0.7281
6.正規分布
答え: P = 0.7881
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
標準化する
z = (0 − 4)/5 = −0.8
確率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答え
P = 0.7881
7.信頼区間
答え: 上限 = 115
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 15, t = 2.131
誤差の幅
E = 2.131·6.5/√16 = 3.463
区間
111.5 ± 3.463 → [108, 115]
答え
上限 = 115
8.信頼区間
答え: n = 168
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·33/5)² = 167.3
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 168
答え
n = 168
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.215
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 20/√81 = 20/9 = 2.222
検定統計量
t = (502.7 − 500)/2.222 = 1.215
答え
t = 1.215
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: L = 45.02
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.96·15/√25 = 5.88
区間の端
L = 50.9 − 5.88 = 45.02
答え
L = 45.02
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.789
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 281/5 = 56.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70
Syy = Σ(y − ȳ)² = 196.8
相関係数
r = 70/√(40·196.8) = 0.789
答え
r = 0.789
12.線形回帰と相関
答え: e = 2.833
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 135/6 = 22.5
ȳ = 613/6 = 102.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 778.5
回帰直線
b = 778.5/157.5 = 4.943
a = 102.2 − 4.943·22.5 = −9.048
ŷ = −9.048 + 4.943·x
予測値
ŷ = −9.048 + 4.943·22.5 = 102.2
残差
e = 105 − 102.2 = 2.833
答え
e = 2.833
点は直線より上にあります。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1