統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：29, 30, 23, 15, 45。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 50、標準偏差 5 の正規分布に従います。56.25 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 50σ = 5x = 56.25

z =

3.確率ふつう

袋に赤玉 4 個と青玉 8 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 8

P =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.7 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 5p = 0.7k = 4

P =

5.正規分布ふつう

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。178 から 179.4 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 179.4

P =

6.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。全体の 10% がそれより下にある値 x（第 10 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 65σ = 10P = 10%

x = 点

7.信頼区間ふつう

σ が既知のもとで 25 個の観測値に基づく平均の 99% 信頼区間の誤差の幅は 10.3 です。同じデータから求めた 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？

99%n₁ = 25E₁ = 10.395%

E₂ =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 38 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 38E = 595%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 503.6、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 503.6s = 12n = 16

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 5E = 390%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 100Σy = 428Σx² = 2040Σy² = 37322Σxy = 8724

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (22.5, 62) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(22.5, 62)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 11.04

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 142/5 = 28.4

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 0.6² + 1.6² + (−5.4)² + (−13.4)² + 16.6² = 487.2

標準偏差

s = √(487.2/4) = 11.04

答え

s = 11.04

2.記述統計

答え: z = 1.25

標準化する

z = (56.25 − 50)/5 = 1.25

答え

z = 1.25

3.確率

答え: P = 0.09091

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0.09091

答え

P = 0.09091

4.確率

答え: P = 0.3601

二項分布の公式

P(X = 4) = 5·0.7⁴·0.3¹ = 5·0.2401·0.3 = 0.3601

答え

P = 0.3601

5.正規分布

答え: P = 0.07926

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (179.4 − 178)/7 = 0.2

間の面積

P = Φ(0.2) − Φ(0) = 0.5793 − 0.5 = 0.07926

答え

P = 0.07926

6.正規分布

答え: x = 52.18 点

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

x に戻す

x = 65 + −1.282·10 = 52.18 点

答え

x = 52.18 点

7.信頼区間

答え: E₂ = 7.837

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(25/25) = 0.7609

新しい誤差の幅

E₂ = 10.3·0.7609 = 7.837

答え

E₂ = 7.837

8.信頼区間

答え: n = 222

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·38/5)² = 221.9

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 222

答え

n = 222

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.2

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

検定統計量

t = (503.6 − 500)/3 = 1.2

答え

t = 1.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 8

n について解く

n = (1.645·5/3)² = 7.517

切り上げる

n = 8

答え

n = 8

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9906

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 8724 − 100·428/5 = 164

S_xx = 2040 − 100²/5 = 40

S_yy = 37322 − 428²/5 = 685.2

相関係数

r = 164/√(40·685.2) = 0.9906

答え

r = 0.9906

12.線形回帰と相関

答え: e = −4.45

平均

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 351/5 = 70.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 225

回帰直線

b = 225/90 = 2.5

a = 70.2 − 2.5·24 = 10.2

ŷ = 10.2 + 2.5·x

予測値

ŷ = 10.2 + 2.5·22.5 = 66.45

残差

e = 62 − 66.45 = −4.45

答え

e = −4.45

点は直線より下にあります。

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