記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：48, 57, 30, 24, 27。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 15 の正規分布に従います。92.5 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100σ = 15x = 92.5
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.25, 0.35, 0.1
σ =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €3 です。確率 0.3 で €9、確率 0.02 で €30 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €3€9: p = 0.3€30: p = 0.02
E(G) = €
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9066 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.9066
z =
6.正規分布むずかしい
IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの上位 20% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 100 点σ = 15 点20%
x = 点
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：80 台、平均 135 h、既知の標準偏差 16 h。機種 2：80 台、平均 129.5 h、既知の標準偏差 19 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 80x̄₁ = 135 hσ₁ = 16 hn₂ = 80x̄₂ = 129.5 hσ₂ = 19 h90%
E = h
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：7 区画、平均収量 55.5 kg、標準偏差 5.5 kg。区画群 2：15 区画、平均 60 kg、標準偏差 1 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 7x̄₁ = 55.5s₁ = 5.5n₂ = 15x̄₂ = 60s₂ = 195%t(20) = 2.086
下限 = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 81 人の標本の平均点は 69.83、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 69.83s = 15n = 81
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 5E = 1.590%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 30Σy = 121Σx² = 220Σy² = 3531Σxy = 880
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (9, 29) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(9, 29)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.48
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 186/5 = 37.2
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 10.8² + 19.8² + (−7.2)² + (−13.2)² + (−10.2)² = 838.8
標準偏差
s = √(838.8/4) = 14.48
答え
s = 14.48
2.記述統計
答え: z = −0.5
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (92.5 − 100)/15 = −0.5
答え
z = −0.5
3.確率
答え: σ = 9.937
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.3 + 20·0.25 + 30·0.35 + 40·0.1 = 22.5
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.3 + 400·0.25 + 900·0.35 + 1600·0.1 = 605
分散
Var(X) = 605 − 22.5² = 98.75
σ = √98.75 = 9.937
答え
σ = 9.937
4.確率
答え: E(G) = 0.3 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 6 (p = 0.3), 27 (p = 0.02), −3 (p = 0.68)
期待値
E(G) = 6·0.3 + 27·0.02 − 3·0.68 = 0.3 €
答え
E(G) = 0.3 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: z = −1.32
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.9066 = 0.0934
z 表を逆に読む
表の中で 0.0934 を見つけ、z を読み取ります。
z = −1.32
答え
z = −1.32
6.正規分布
答え: x = 112.6 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.8
表からの z
z ≈ 0.84
元の単位に戻す
x = 100 + 0.84·15 = 112.6 点
答え
x = 112.6 点
7.信頼区間
答え: E = 4.568 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 135 − 129.5 = 5.5
標準誤差
SE = √(16²/80 + 19²/80) = 2.777
誤差の幅
E = 1.645·2.777 = 4.568
答え
E = 4.568 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: 下限 = −7.485 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (6·5.5² + 14·1²)/20 = 9.775
sp = 3.126
誤差の幅
E = 2.086·3.126·√(1/7 + 1/15) = 2.985
区間
−4.5 ± 2.985 → [−7.485, −1.515]
答え
下限 = −7.485 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −3.102
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√81 = 15/9 = 1.667
検定統計量
t = (69.83 − 75)/1.667 = −3.102
答え
t = −3.102
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 31
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.645·5/1.5)² = 30.07
切り上げる
n = 31
答え
n = 31
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9918
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 880 − 30·121/5 = 154
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3531 − 121²/5 = 602.8
相関係数
r = 154/√(40·602.8) = 0.9918
答え
r = 0.9918
12.線形回帰と相関
答え: e = −2.914
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 150/6 = 25
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242
回帰直線
b = 242/70 = 3.457
a = 25 − 3.457·7 = 0.8
ŷ = 0.8 + 3.457·x
予測値
ŷ = 0.8 + 3.457·9 = 31.91
残差
e = 29 − 31.91 = −2.914
答え
e = −2.914
点は直線より下にあります。
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