統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：17, 12, 45, 22, 52, 57, 40。

n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 500、標準偏差 60 の正規分布に従います。524 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 60x = 524
P =
3.確率ふつう
赤: 6青: 6

袋に赤玉 6 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

6 / 6
P =
4.確率むずかしい
€p(x)−30.8430.15570.01

ゲームの参加費は €3 です。確率 0.15 で €6、確率 0.01 で €60 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €3€6: p = 0.15€60: p = 0.01
E(G) = €
5.正規分布ふつう
105 s101.8 sX + Y?

X は平均 60 s、標準偏差 5 s の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 45 s、標準偏差 4 s の正規分布に従います。X + Y が 101.8 s を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101.8 s
P =
6.正規分布むずかしい
10 g0X − Y?

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.信頼区間ふつう
n = 30, s = 10L = ?Ux̄ = 89.5E95%

30 個からなる標本の平均は 89.5、標準偏差は s = 10 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 30x̄ = 89.5s = 1095%t(29) = 2.045
下限 =
8.信頼区間むずかしい
n = 25Lσ = ?s = 11.995%

機械加工した 25 本の軸の直径の標本標準偏差は 11.9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 24 のとき、χ² 分布の 2.5% は 12.401 より下に、2.5% は 39.364 より上にあります。

n = 25s = 11.9 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.5712.571t = ?df = 5

6 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は −3.77、差の標準偏差は 6.6 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 6d̄ = −3.77sd = 6.6
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
μ₀x̄c

H₀: μ = 100 対 H₁: μ > 100 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 64 で行います。標準偏差は 12 であることがわかっています。実際の平均は 104.5 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 100μ = 104.5σ = 12n = 64α = 0.01
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
xy126224323420520617xy2462025

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 21Σy = 130Σx² = 91Σy² = 2870Σxy = 425
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy16571869207622772483xy20607080x = 19

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 19 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 19
ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 17.89

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 245/7 = 35

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−18)² + (−23)² + 10² + (−13)² + 17² + 22² + 5² = 1920

標準偏差

s = √(1920/6) = 17.89

答え

s = 17.89
2.記述統計

答え: P = 0.3446

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 0.4

標準正規分布表

Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446

答え

P = 0.3446
3.確率

答え: P = 0.2273

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0.2273

答え

P = 0.2273
4.確率

答え: E(G) = −1.5 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 3 (p = 0.15), 57 (p = 0.01), −3 (p = 0.84)

期待値

E(G) = 3·0.15 + 57·0.01 − 3·0.84 = −1.5 €

答え

E(G) = −1.5 €

負の値は、平均して損をすることを意味します。

5.正規分布

答え: P = 0.6915

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

標準化する

z = (101.8 − 105)/6.403 = −0.5

上側確率

P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915

答え

P = 0.6915
6.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413
7.信頼区間

答え: 下限 = 85.77

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 29, t = 2.045

誤差の幅

E = 2.045·10/√30 = 3.734

区間

89.5 ± 3.734 → [85.77, 93.23]

答え

下限 = 85.77
8.信頼区間

答え: σ = 16.55 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 24·11.9² = 3399

σ² の限界

3399/39.364 = 86.34
3399/12.401 = 274.1

σ の限界

σ = √274.1 = 16.55 µm

答え

σ = 16.55 µm

σ の 95% 区間：[9.292, 16.55] µm。

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.399

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 6.6/√6 = 2.694

検定統計量

t = −3.77/2.694 = −1.399

答え

t = −1.399

df = 5 のとき、両側 5% の臨界値は 2.571 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: 1 − β = 74.98 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 100 + 2.326·1.5 = 103.5

真の平均のもとでの z

z = (103.5 − 104.5)/1.5 = −0.674

電力

検出力 = P(Z > −0.674) = 74.98%
1 − β = 74.98%

答え

1 − β = 74.98%
11.線形回帰と相関

答え: r = −0.982

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

Sxy = 425 − 21·130/6 = −30
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2870 − 130²/6 = 53.33

相関係数

r = −30/√(17.5·53.33) = −0.982

答え

r = −0.982
12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 69.4

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 362/5 = 72.4

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

回帰直線

b = 120/40 = 3
a = 72.4 − 3·20 = 12.4
ŷ = 12.4 + 3·x

予測

ŷ = 12.4 + 3·19 = 69.4

答え

ŷ = 69.4

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