統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：32, 17, 52, 48, 52, 15。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 500、標準偏差 60 の正規分布に従います。428 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 500σ = 60x = 428

z =

3.確率ふつう

袋に赤玉 4 個と青玉 9 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 9

P =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 10X + 5 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 10X + 5

σ_Y =

5.正規分布ふつう

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。240 から 255.25 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 255.25

P =

6.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 500σ = 40P = 97.5%

x = h

7.信頼区間ふつう

25 個からなる標本の平均は 39、標準偏差は s = 16 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 25x̄ = 39s = 1695%t(24) = 2.064

下限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 36 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 36E = 2.599%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 43.25、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 43.25s = 15n = 16

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 8 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 8E = 0.590%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 57 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 57

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 17.17

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 216/6 = 36

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−19)² + 16² + 12² + 16² + (−21)² = 1474

標準偏差

s = √(1474/5) = 17.17

答え

s = 17.17

2.記述統計

答え: z = −1.2

標準化する

z = (428 − 500)/60 = −1.2

答え

z = −1.2

3.確率

答え: P = 0.07692

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0.07692

答え

P = 0.07692

4.確率

答え: σ_Y = 8.047

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

一次変換

σ_Y = |10|·0.8047 = 8.047

答え

σ_Y = 8.047

平均は変化します：E(Y) = 10·0.95 + 5 = 14.5。

5.正規分布

答え: P = 0.8304

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (255.25 − 250)/5 = 1.05

間の面積

P = Φ(1.05) − Φ(−2) = 0.8531 − 0.02275 = 0.8304

答え

P = 0.8304

6.正規分布

答え: x = 578.4 h

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

x に戻す

x = 500 + 1.96·40 = 578.4 h

答え

x = 578.4 h

7.信頼区間

答え: 下限 = 32.4

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 24, t = 2.064

誤差の幅

E = 2.064·16/√25 = 6.605

区間

39 ± 6.605 → [32.4, 45.6]

答え

下限 = 32.4

8.信頼区間

答え: n = 1376

n について解く

n = (2.576·36/2.5)² = 1376

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 1376

答え

n = 1376

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.8

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

検定統計量

t = (43.25 − 50)/3.75 = −1.8

答え

t = −1.8

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 693

n について解く

n = (1.645·8/0.5)² = 692.7

切り上げる

n = 693

答え

n = 693

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9563

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 222/6 = 37

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 208

決定係数

r² = 59²/(17.5·208) = 0.9563

答え

r² = 0.9563

y の変動の約 95.63% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: x = 11.13

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 296/6 = 49.33

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

回帰直線

b = 130/70 = 1.857

a = 49.33 − 1.857·7 = 36.33

ŷ = 36.33 + 1.857·x

x について解く

x = (57 − 36.33)/1.857 = 11.13

答え

x = 11.13

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