統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
1520253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい：48, 41, 47, 50, 12。

n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。62 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 70σ = 10x = 62
z =
3.確率ふつう
n = 10k = 5N = ?

10 人のグループから 5 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 10k = 5
N =
4.確率むずかしい
n = 8, p = 0.6: P(X = 2) = ?k012345678

あるテストには選択問題が 8 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.6 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 8p = 0.6k = 2
P =
5.正規分布ふつう
72 kg71 kgT = X₁ + … + X₆?

箱 の質量は互いに独立で、平均 12 kg、標準偏差 0.8 kg の正規分布に従います。そのうち 6 個の合計質量が 71 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 6> 71 kg
P =
6.正規分布むずかしい
10 g0X − Y?

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.信頼区間ふつう
n = 11, s = 12LU = ?x̄ = 18E99%

11 個からなる標本の平均は 18、標準偏差は s = 12 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 11x̄ = 18s = 1299%t(10) = 3.169
上限 =
8.信頼区間むずかしい
σ = 35, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

母標準偏差は 35 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 35E = 295%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.0452.045t = ?df = 29

2 つの指導法を比べます。グループ 1：5 人の学生、平均点 63.5、標準偏差 9.5。グループ 2：26 人の学生、平均点 65.3、標準偏差 5.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 5x̄₁ = 63.5s₁ = 9.5n₂ = 26x̄₂ = 65.3s₂ = 5.5
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0.05βσ = 17, 検出力 80%, n = ?

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 4 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 17 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 80%δ = 4σ = 17zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy264146208261034xy510102030

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy126225320419517614xy246152025x = 5.5

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (5.5, 10) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(5.5, 10)
e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 15.79

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 198/5 = 39.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 8.4² + 1.4² + 7.4² + 10.4² + (−27.6)² = 997.2

標準偏差

s = √(997.2/4) = 15.79

答え

s = 15.79
2.記述統計

答え: z = −0.8

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (62 − 70)/10 = −0.8

答え

z = −0.8
3.確率

答え: N = 252

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

答え

N = 252
4.確率

答え: P = 0.04129

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 2) = 28·0.62·0.46 = 28·0.36·0.004096 = 0.04129

答え

P = 0.04129
5.正規分布

答え: P = 0.695

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μT = 72 kg, σT = 0.8·√6 = 1.96 kg

標準化する

z = (71 − 72)/1.96 = −0.51

確率

P = 1 − Φ(−0.51) = 0.695

答え

P = 0.695
6.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413
7.信頼区間

答え: 上限 = 29.47

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 10, t = 3.169

誤差の幅

E = 3.169·12/√11 = 11.47

区間

18 ± 11.47 → [6.534, 29.47]

答え

上限 = 29.47
8.信頼区間

答え: n = 1177

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·35/2)² = 1176

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 1177

答え

n = 1177
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −0.5939

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

sp² = (4·9.5² + 25·5.5²)/29 = 38.53
sp = 6.207

標準誤差

SE = 6.207·√(1/5 + 1/26) = 3.031

検定統計量

t = (63.5 − 65.3)/3.031 = −0.5939

答え

t = −0.5939

df = 29 のとき、両側 5% の臨界値は 2.045 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 112

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 0.842)·17/4)² = 111.7

切り上げる

n = 112

答え

n = 112
11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9966

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 100/5 = 20

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136
Syy = Σ(y − ȳ)² = 464

決定係数

r² = 136²/(40·464) = 0.9966

答え

r² = 0.9966

y の変動の約 99.66% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: e = −5.31

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 121/6 = 20.17

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42.5

回帰直線

b = −42.5/17.5 = −2.429
a = 20.17 − (−2.429)·3.5 = 28.67
ŷ = 28.67 − 2.429·x

予測値

ŷ = 28.67 + (−2.429)·5.5 = 15.31

残差

e = 10 − 15.31 = −5.31

答え

e = −5.31

点は直線より下にあります。

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