記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：37, 24, 60, 14, 32, 13, 33。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 10 の正規分布に従います。104 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100σ = 10x = 104
P =
3.確率ふつう
袋に赤玉 5 個と青玉 5 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
5 / 5
P =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 0.5X + 10 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.35, 0.2, 0.2Y = 0.5X + 10
σY =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.1170 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.1170
z =
6.正規分布むずかしい
電池の寿命 は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの下位 40% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
7.信頼区間ふつう
11 個からなる標本の平均は 115、標準偏差は s = 4.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 11x̄ = 115s = 4.590%t(10) = 1.812
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 33 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 33E = 599%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
6 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 9.11、差の標準偏差は 9.3 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 6d̄ = 9.11sd = 9.3
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
25 回の測定の標本平均は 73.2 です。母標準偏差は 4 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 73.2σ = 4n = 2590%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 22 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 22
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 16.03
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 213/7 = 30.43
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 6.571² + (−6.429)² + 29.57² + (−16.43)² + 1.571² + (−17.43)² + 2.571² = 1542
標準偏差
s = √(1542/6) = 16.03
答え
s = 16.03
2.記述統計
答え: P = 0.3446
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 0.4
標準正規分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
答え
P = 0.3446
3.確率
答え: P = 0.2222
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0.2222
答え
P = 0.2222
4.確率
答え: σY = 0.5309
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 1.35, Var(X) = 1.127, σX = 1.062
一次変換
σY = |0.5|·1.062 = 0.5309
答え
σY = 0.5309
平均は変化します：E(Y) = 0.5·1.35 + 10 = 10.68。
5.正規分布
答え: z = 1.19
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.1170 = 0.8830
z 表を逆に読む
表の中で 0.8830 を見つけ、z を読み取ります。
z = 1.19
答え
z = 1.19
6.正規分布
答え: x = 490 h
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.4
表からの z
z ≈ −0.25
元の単位に戻す
x = 500 − 0.25·40 = 490 h
答え
x = 490 h
7.信頼区間
答え: 上限 = 117.5
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 10, t = 1.812
誤差の幅
E = 1.812·4.5/√11 = 2.459
区間
115 ± 2.459 → [112.5, 117.5]
答え
上限 = 117.5
8.信頼区間
答え: n = 290
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·33/5)² = 289.1
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 290
答え
n = 290
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.399
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 9.3/√6 = 3.797
検定統計量
t = 9.11/3.797 = 2.399
答え
t = 2.399
df = 5 のとき、両側 5% の臨界値は 2.571 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 74.52
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.645·4/√25 = 1.316
区間の端
U = 73.2 + 1.316 = 74.52
答え
U = 74.52
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9159
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 338/6 = 56.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Syy = Σ(y − ȳ)² = 505.3
決定係数
r² = 90²/(17.5·505.3) = 0.9159
答え
r² = 0.9159
y の変動の約 91.59% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 63.17
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 379/6 = 63.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 269
回帰直線
b = 269/70 = 3.843
a = 63.17 − 3.843·22 = −21.38
ŷ = −21.38 + 3.843·x
予測
ŷ = −21.38 + 3.843·22 = 63.17
答え
ŷ = 63.17
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