統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
10152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：48, 54, 56, 10, 38。

n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 50、標準偏差 8 の正規分布に従います。46 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 50σ = 8x = 46
z =
3.確率ふつう
xp(x)00.0520.3540.3560.25μ = 3.6

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.05, 0.35, 0.35, 0.25
σ =
4.確率むずかしい
xp(x)00.1510.3520.230.1540.15μ

X は示された分布をもち、Y = 3X + 20 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.35, 0.2, 0.15, 0.15Y = 3X + 20
σY =
5.正規分布ふつう
200 mm199.5 mmX + Y?

X は平均 120 mm、標準偏差 0.3 mm の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 80 mm、標準偏差 0.4 mm の正規分布に従います。X + Y が 199.5 mm を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.5 mm
P =
6.正規分布むずかしい
0.03 mm0D − d?

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.信頼区間ふつう
n = 13, s = 8.5LU = ?x̄ = 96E99%

13 個からなる標本の平均は 96、標準偏差は s = 8.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 13x̄ = 96s = 8.599%t(12) = 3.055
上限 =
8.信頼区間むずかしい
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

母標準偏差は 29 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 29E = 495%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.1792.179t = ?df = 12

13 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 6.26、差の標準偏差は 6.1 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 13d̄ = 6.26sd = 6.1
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 25, 検出力 95%, n = ?

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 25 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 95%δ = 5σ = 25zα = 2.326zβ = 1.645
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy21141562382910321240xy51010203040

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 42Σy = 150Σx² = 364Σy² = 4340Σxy = 1252
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy264106128181021xy5105101520x = 3

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 3 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 3
ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 18.79

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 206/5 = 41.2

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 6.8² + 12.8² + 14.8² + (−31.2)² + (−3.2)² = 1413

標準偏差

s = √(1413/4) = 18.79

答え

s = 18.79
2.記述統計

答え: z = −0.5

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (46 − 50)/8 = −0.5

答え

z = −0.5
3.確率

答え: σ = 1.744

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.05 + 2·0.35 + 4·0.35 + 6·0.25 = 3.6

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.05 + 4·0.35 + 16·0.35 + 36·0.25 = 16

分散

Var(X) = 16 − 3.6² = 3.04
σ = √3.04 = 1.744

答え

σ = 1.744
4.確率

答え: σY = 3.865

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 1.8, Var(X) = 1.66, σX = 1.288

一次変換

σY = |3|·1.288 = 3.865

答え

σY = 3.865

平均は変化します：E(Y) = 3·1.8 + 20 = 25.4。

5.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

標準化する

z = (199.5 − 200)/0.5 = −1

上側確率

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

答え

P = 0.8413
6.正規分布

答え: P = 0.9099

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

確率

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

答え

P = 0.9099
7.信頼区間

答え: 上限 = 103.2

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 12, t = 3.055

誤差の幅

E = 3.055·8.5/√13 = 7.202

区間

96 ± 7.202 → [88.8, 103.2]

答え

上限 = 103.2
8.信頼区間

答え: n = 202

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·29/4)² = 201.9

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 202

答え

n = 202
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 3.7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 6.1/√13 = 1.692

検定統計量

t = 6.26/1.692 = 3.7

答え

t = 3.7

df = 12 のとき、両側 5% の臨界値は 2.179 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 395

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 1.645)·25/5)² = 394.2

切り上げる

n = 395

答え

n = 395
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.994

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

Sxy = 1252 − 42·150/6 = 202
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 4340 − 150²/6 = 590

相関係数

r = 202/√(70·590) = 0.994

答え

r = 0.994
12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 7.7

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 67/5 = 13.4

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

回帰直線

b = 76/40 = 1.9
a = 13.4 − 1.9·6 = 2
ŷ = 2 + 1.9·x

予測

ŷ = 2 + 1.9·3 = 7.7

答え

ŷ = 7.7

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