記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：22, 46, 35, 20, 24, 49, 34。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。64.8 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60σ = 12x = 64.8
P =
3.確率ふつう
袋に赤玉 4 個と青玉 3 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
4 / 3
P =
4.確率むずかしい
部品を 12 個試験し、各部品は独立に確率 0.4 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 12p = 0.4
P =
5.正規分布ふつう
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。245.25 から 259.25 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 250σ = 5x1 = 245.25x2 = 259.25
P =
6.正規分布むずかしい
走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：60 台、平均 42 h、既知の標準偏差 17 h。機種 2：60 台、平均 51.5 h、既知の標準偏差 6 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 60x̄₁ = 42 hσ₁ = 17 hn₂ = 60x̄₂ = 51.5 hσ₂ = 6 h95%
E = h
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 11 本の軸の直径の標本標準偏差は 7.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 10 のとき、χ² 分布の 2.5% は 3.247 より下に、2.5% は 20.483 より上にあります。
n = 11s = 7.8 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 47.75、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 50x̄ = 47.75s = 10n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 3 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 17 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 80%δ = 3σ = 17zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 30Σy = 66Σx² = 220Σy² = 982Σxy = 462
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (8, 72) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(8, 72)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 11.55
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 230/7 = 32.86
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−10.86)² + 13.14² + 2.143² + (−12.86)² + (−8.857)² + 16.14² + 1.143² = 800.9
標準偏差
s = √(800.9/6) = 11.55
答え
s = 11.55
2.記述統計
答え: P = 0.3446
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 0.4
標準正規分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
答え
P = 0.3446
3.確率
答え: P = 0.2857
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0.2857
答え
P = 0.2857
4.確率
答え: P = 0.01959
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.612 = 0.002177
P(X = 1) = 12·0.4·0.611 = 0.01741
足し合わせる
P = 0.002177 + 0.01741 = 0.01959
答え
P = 0.01959
5.正規分布
答え: P = 0.7968
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (245.25 − 250)/5 = −0.95
z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85
間の面積
P = Φ(1.85) − Φ(−0.95) = 0.9678 − 0.1711 = 0.7968
答え
P = 0.7968
6.正規分布
答え: P = 0.7881
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
標準化する
z = (0 − 4)/5 = −0.8
確率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答え
P = 0.7881
7.信頼区間
答え: E = 4.562 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 42 − 51.5 = −9.5
標準誤差
SE = √(17²/60 + 6²/60) = 2.327
誤差の幅
E = 1.96·2.327 = 4.562
答え
E = 4.562 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: σ = 5.45 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 10·7.8² = 608.4
σ² の限界
608.4/20.483 = 29.7
608.4/3.247 = 187.4
σ の限界
σ = √29.7 = 5.45 µm
答え
σ = 5.45 µm
σ の 95% 区間：[5.45, 13.69] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.9
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
検定統計量
t = (47.75 − 50)/2.5 = −0.9
答え
t = −0.9
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 323
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 0.842)·17/3)² = 322.3
切り上げる
n = 323
答え
n = 323
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9914
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 462 − 30·66/5 = 66
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 982 − 66²/5 = 110.8
相関係数
r = 66/√(40·110.8) = 0.9914
答え
r = 0.9914
12.線形回帰と相関
答え: e = 4.505
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 370/6 = 61.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204
回帰直線
b = 204/70 = 2.914
a = 61.67 − 2.914·6 = 44.18
ŷ = 44.18 + 2.914·x
予測値
ŷ = 44.18 + 2.914·8 = 67.5
残差
e = 72 − 67.5 = 4.505
答え
e = 4.505
点は直線より上にあります。
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