統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：53, 24, 25, 30, 60。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。66.25 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 60σ = 5x = 66.25

P =

3.確率ふつう

公正なさいころを 3 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 3

P =

4.確率むずかしい

部品を 11 個試験し、各部品は独立に確率 0.1 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.1

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.8789 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.8789

z =

6.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの上位 60% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.信頼区間ふつう

13 個からなる標本の平均は 72.5、標準偏差は s = 18 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 13x̄ = 72.5s = 1890%t(12) = 1.782

E =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 33 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 33E = 0.595%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 36 人の標本の平均点は 75.93、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 75.93s = 8n = 36

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

25 回の測定の標本平均は 501.7 です。母標準偏差は 12 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 501.7σ = 12n = 2599%

L =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (9, 34) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(9, 34)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 16.86

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 192/5 = 38.4

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 14.6² + (−14.4)² + (−13.4)² + (−8.4)² + 21.6² = 1137

標準偏差

s = √(1137/4) = 16.86

答え

s = 16.86

2.記述統計

答え: P = 0.8944

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答え

P = 0.8944

3.確率

答え: P = 0.4213

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

答え

P = 0.4213

4.確率

答え: P = 0.6974

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.9¹¹ = 0.3138

P(X = 1) = 11·0.1·0.9¹⁰ = 0.3835

足し合わせる

P = 0.3138 + 0.3835 = 0.6974

答え

P = 0.6974

5.正規分布

答え: z = 1.55

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.8789)/2 = 0.9394

z 表を逆に読む

表の中で 0.9394 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.55

答え

z = 1.55

6.正規分布

答え: x = 248.8 g

左側の面積

Φ(z) = 0.4

表からの z

z ≈ −0.25

元の単位に戻す

x = 250 − 0.25·5 = 248.8 g

答え

x = 248.8 g

7.信頼区間

答え: E = 8.896

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 12, t = 1.782

誤差の幅

E = 1.782·18/√13 = 8.896

答え

E = 8.896

8.信頼区間

答え: n = 16735

n について解く

n = (1.96·33/0.5)² = 16734

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 16735

答え

n = 16735

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 0.6975

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

検定統計量

t = (75.93 − 75)/1.333 = 0.6975

答え

t = 0.6975

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 495.5

誤差の幅

E = 2.576·12/√25 = 6.182

区間の端

L = 501.7 − 6.182 = 495.5

答え

L = 495.5

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9346

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 512/6 = 85.33

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 372

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2115

決定係数

r² = 372²/(70·2115) = 0.9346

答え

r² = 0.9346

y の変動の約 93.46% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: e = 2.052

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 149/6 = 24.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249

回帰直線

b = 249/70 = 3.557

a = 24.83 − 3.557·7 = −0.06667

ŷ = −0.06667 + 3.557·x

予測値

ŷ = −0.06667 + 3.557·9 = 31.95

残差

e = 34 − 31.95 = 2.052

答え

e = 2.052

点は直線より上にあります。

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