統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
1015202530354045

データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 11, 46, 29, 10, 20。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。195 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 195
P =
3.確率ふつう
赤: 4青: 4

袋に赤玉 4 個と青玉 4 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 4
P =
4.確率むずかしい
n = 9, p = 0.2: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

部品を 9 個試験し、各部品は独立に確率 0.2 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 9p = 0.2
P =
5.正規分布ふつう
−3−2−10123z−z から z の間の色つき面積 = 0.3401

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.3401 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.3401
z =
6.正規分布むずかしい
μ = 100x = ?75%

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。全体の 75% がそれより下にある値 x（第 75 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 75%
x = 点
7.信頼区間ふつう
n = 8, sd​ = 6.10L = ?Ud̄ = 1E90%

8 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 1、標準偏差は 6.1 です。 差の平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 8d̄ = 1sd = 6.190%t(7) = 1.895
下限 = mmHg
8.信頼区間むずかしい
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

母標準偏差は 4 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 4E = 199%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.1312.131t = ?df = 15

16 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は −8.46、差の標準偏差は 8.9 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 16d̄ = −8.46sd = 8.9
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 8 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 8E = 295%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy246348453561661xy24645505560

表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy130228328426523622xy2462530ŷ = 25

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 25 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 25
x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 14.8

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 155/6 = 25.83

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 13.17² + (−14.83)² + 20.17² + 3.167² + (−15.83)² + (−5.833)² = 1095

標準偏差

s = √(1095/5) = 14.8

答え

s = 14.8
2.記述統計

答え: P = 0.1056

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答え

P = 0.1056
3.確率

答え: P = 0.2143

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0.2143

答え

P = 0.2143
4.確率

答え: P = 0.4362

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.89 = 0.1342
P(X = 1) = 9·0.2·0.88 = 0.302

足し合わせる

P = 0.1342 + 0.302 = 0.4362

答え

P = 0.4362
5.正規分布

答え: z = 0.44

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.3401)/2 = 0.6700

z 表を逆に読む

表の中で 0.6700 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.44

答え

z = 0.44
6.正規分布

答え: x = 110.1 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

x に戻す

x = 100 + 0.6745·15 = 110.12 点

答え

x = 110.12 点
7.信頼区間

答え: 下限 = −3.087 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 7, t = 1.895

誤差の幅

E = 1.895·6.1/√8 = 4.087

区間

1 ± 4.087 → [−3.087, 5.087]

答え

下限 = −3.087 mmHg
8.信頼区間

答え: n = 107

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·4/1)² = 106.2

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 107

答え

n = 107
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −3.802

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 8.9/√16 = 2.225

検定統計量

t = −8.46/2.225 = −3.802

答え

t = −3.802

df = 15 のとき、両側 5% の臨界値は 2.131 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 62

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

n について解く

n = (1.96·8/2)² = 61.47

切り上げる

n = 62

答え

n = 62
11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9301

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 269/5 = 53.8

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 198.8

決定係数

r² = 43²/(10·198.8) = 0.9301

答え

r² = 0.9301

y の変動の約 93.01% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: x = 4.216

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 157/6 = 26.17

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28.5

回帰直線

b = −28.5/17.5 = −1.629
a = 26.17 − (−1.629)·3.5 = 31.87
ŷ = 31.87 − 1.629·x

x について解く

x = (25 − 31.87)/(−1.629) = 4.216

答え

x = 4.216

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1