記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：26, 34, 24, 38, 42。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。60.4 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 8x = 60.4
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.2, 0.2, 0.35
σ =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €5 です。確率 0.3 で €15、確率 0.02 で €250 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €5€15: p = 0.3€250: p = 0.02
E(G) = €
5.正規分布ふつう
X は平均 60 s、標準偏差 5 s の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 45 s、標準偏差 4 s の正規分布に従います。X + Y が 99.9 s を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99.9 s
P =
6.正規分布むずかしい
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 250σ = 5P = 97.5%
x = g
7.信頼区間ふつう
7 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 1.6、標準偏差は 7.5 です。 差の平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 7d̄ = 1.6sd = 7.595%t(6) = 2.447
E = mmHg
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：14 区画、平均収量 12.5 kg、標準偏差 8.5 kg。区画群 2：8 区画、平均 2.5 kg、標準偏差 10 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 14x̄₁ = 12.5s₁ = 8.5n₂ = 8x̄₂ = 2.5s₂ = 1099%t(20) = 2.845
E = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 191.8、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 191.8s = 15n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
36 回の測定の標本平均は 501.8 です。母標準偏差は 12 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 501.8σ = 12n = 3690%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (5.5, 74) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(5.5, 74)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 7.694
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 164/5 = 32.8
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−6.8)² + 1.2² + (−8.8)² + 5.2² + 9.2² = 236.8
標準偏差
s = √(236.8/4) = 7.694
答え
s = 7.694
2.記述統計
答え: P = 0.1151
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1.2
標準正規分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151
答え
P = 0.1151
3.確率
答え: σ = 11.95
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.25 + 20·0.2 + 30·0.2 + 40·0.35 = 26.5
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.25 + 400·0.2 + 900·0.2 + 1600·0.35 = 845
分散
Var(X) = 845 − 26.5² = 142.8
σ = √142.8 = 11.95
答え
σ = 11.95
4.確率
答え: E(G) = 4.5 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 10 (p = 0.3), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.68)
期待値
E(G) = 10·0.3 + 245·0.02 − 5·0.68 = 4.5 €
答え
E(G) = 4.5 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: P = 0.7881
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
標準化する
z = (99.9 − 105)/6.403 = −0.8
上側確率
P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881
答え
P = 0.7881
6.正規分布
答え: x = 259.8 g
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
x に戻す
x = 250 + 1.96·5 = 259.8 g
答え
x = 259.8 g
7.信頼区間
答え: E = 6.937 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
臨界値
df = 6, t = 2.447
誤差の幅
E = 2.447·7.5/√7 = 6.937
答え
E = 6.937 mmHg
8.信頼区間
答え: E = 11.42 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (13·8.5² + 7·10²)/20 = 81.96
sp = 9.053
誤差の幅
E = 2.845·9.053·√(1/14 + 1/8) = 11.42
答え
E = 11.42 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.187
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75
検定統計量
t = (191.8 − 200)/3.75 = −2.187
答え
t = −2.187
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| > 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 505.1
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.645·12/√36 = 3.29
区間の端
U = 501.8 + 3.29 = 505.1
答え
U = 505.1
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9869
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 511/6 = 85.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 371
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2019
相関係数
r = 371/√(70·2019) = 0.9869
答え
r = 0.9869
12.線形回帰と相関
答え: e = 4.8
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 301/5 = 60.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60
回帰直線
b = 60/10 = 6
a = 60.2 − 6·4 = 36.2
ŷ = 36.2 + 6·x
予測値
ŷ = 36.2 + 6·5.5 = 69.2
残差
e = 74 − 69.2 = 4.8
答え
e = 4.8
点は直線より上にあります。
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