記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 57, 54, 50, 23, 48。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。48 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60σ = 12x = 48
P =
3.確率ふつう
公正なさいころを 2 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 2
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.3 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 5p = 0.3k = 2
P =
5.正規分布ふつう
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。242.25 から 254.25 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 250σ = 5x1 = 242.25x2 = 254.25
P =
6.正規分布むずかしい
電池の寿命 は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの上位 95% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 50 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 11.3 です。 同じデータから求めた 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
90%n₁ = 50E₁ = 11.395%
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
不良品の割合について事前には何もわかっていません。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.04 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p = 0.5E = 0.0490%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
12 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 7.59、差の標準偏差は 7.3 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 12d̄ = 7.59sd = 7.3
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 10E = 199%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 20 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 5ŷ = 20
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 12.48
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 271/6 = 45.17
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−6.167)² + 11.83² + 8.833² + 4.833² + (−22.17)² + 2.833² = 778.8
標準偏差
s = √(778.8/5) = 12.48
答え
s = 12.48
2.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1
標準正規分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答え
P = 0.1587
3.確率
答え: P = 0.3056
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答え
P = 0.3056
4.確率
答え: P = 0.3087
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 2) = 10·0.32·0.73 = 10·0.09·0.343 = 0.3087
答え
P = 0.3087
5.正規分布
答え: P = 0.7418
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (242.25 − 250)/5 = −1.55
z₂ = (254.25 − 250)/5 = 0.85
間の面積
P = Φ(0.85) − Φ(−1.55) = 0.8023 − 0.06057 = 0.7418
答え
P = 0.7418
6.正規分布
答え: x = 434 h
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.05
表からの z
z ≈ −1.64
元の単位に戻す
x = 500 − 1.64·40 = 434 h
答え
x = 434 h
7.信頼区間
答え: E₂ = 13.46
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(50/50) = 1.191
新しい誤差の幅
E₂ = 11.3·1.191 = 13.46
答え
E₂ = 13.46
8.信頼区間
答え: n = 423
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.645²·0.5·0.5/0.04² = 422.8
切り上げる
n = 423
答え
n = 423
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 3.602
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 7.3/√12 = 2.107
検定統計量
t = 7.59/2.107 = 3.602
答え
t = 3.602
df = 11 のとき、両側 5% の臨界値は 2.201 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 664
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (2.576·10/1)² = 663.6
切り上げる
n = 664
答え
n = 664
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.8785
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 181/5 = 36.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
Syy = Σ(y − ȳ)² = 200.8
決定係数
r² = 84²/(40·200.8) = 0.8785
答え
r² = 0.8785
y の変動の約 87.85% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: x = 3.615
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 104/5 = 20.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13
回帰直線
b = −13/10 = −1.3
a = 20.8 − (−1.3)·3 = 24.7
ŷ = 24.7 − 1.3·x
x について解く
x = (20 − 24.7)/(−1.3) = 3.615
答え
x = 3.615
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1