統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：34, 15, 22, 17, 32, 56, 34。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 60、標準偏差 15 の正規分布に従います。82.5 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 60σ = 15x = 82.5

P =

3.確率ふつう

袋に赤玉 7 個と青玉 9 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

7 / 9

P =

4.確率むずかしい

部品を 8 個試験し、各部品は独立に確率 0.7 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 8p = 0.7

P =

5.正規分布ふつう

ボルトの質量は互いに独立で、平均 40 g、標準偏差 1.2 g の正規分布に従います。そのうち 6 個の合計質量が 242.9 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 6> 242.9 g

P =

6.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 75% がそれより下にある値 x（第 75 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

7.信頼区間ふつう

8 個からなる標本の平均は 96、標準偏差は s = 9 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 8x̄ = 96s = 995%t(7) = 2.365

下限 =

8.信頼区間むずかしい

機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。

n = 15s = 8 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 25 人の標本の平均点は 204.2、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 200x̄ = 204.2s = 10n = 25

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

25 回の測定の標本平均は 50.8 です。母標準偏差は 4 です。平均の 95% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 50.8σ = 4n = 2595%

L =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 5

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 13.96

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 210/7 = 30

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 4² + (−15)² + (−8)² + (−13)² + 2² + 26² + 4² = 1170

標準偏差

s = √(1170/6) = 13.96

答え

s = 13.96

2.記述統計

答え: P = 0.9332

標準化する

z = 1.5

標準正規分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

答え

P = 0.9332

3.確率

答え: P = 0.175

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0.175

答え

P = 0.175

4.確率

答え: P = 0.00129

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.3⁸ = 6.561 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 8·0.7·0.3⁷ = 0.001225

足し合わせる

P = 6.561 × 10⁻⁵ + 0.001225 = 0.00129

答え

P = 0.00129

5.正規分布

答え: P = 0.1611

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 240 g, σ_T = 1.2·√6 = 2.939 g

標準化する

z = (242.9 − 240)/2.939 = 0.99

確率

P = 1 − Φ(0.99) = 0.1611

答え

P = 0.1611

6.正規分布

答え: x = 253.4 g

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

x に戻す

x = 250 + 0.6745·5 = 253.37 g

答え

x = 253.37 g

7.信頼区間

答え: 下限 = 88.47

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 7, t = 2.365

誤差の幅

E = 2.365·9/√8 = 7.525

区間

96 ± 7.525 → [88.47, 103.5]

答え

下限 = 88.47

8.信頼区間

答え: σ = 12.62 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 14·8² = 896

σ² の限界

896/26.119 = 34.3

896/5.629 = 159.2

σ の限界

σ = √159.2 = 12.62 µm

答え

σ = 12.62 µm

σ の 95% 区間：[5.857, 12.62] µm。

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

検定統計量

t = (204.2 − 200)/2 = 2.1

答え

t = 2.1

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 49.23

誤差の幅

E = 1.96·4/√25 = 1.568

区間の端

L = 50.8 − 1.568 = 49.23

答え

L = 49.23

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.8938

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 257/6 = 42.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 143

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 326.8

決定係数

r² = 143²/(70·326.8) = 0.8938

答え

r² = 0.8938

y の変動の約 89.38% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 41.35

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 218/5 = 43.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

回帰直線

b = 90/40 = 2.25

a = 43.6 − 2.25·6 = 30.1

ŷ = 30.1 + 2.25·x

予測

ŷ = 30.1 + 2.25·5 = 41.35

答え

ŷ = 41.35

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