記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：45, 21, 34, 12, 35。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 12 の正規分布に従います。35.6 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50σ = 12x = 35.6
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.1, 0.25, 0.15
Var(X) =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 3X + 1 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.35, 0.35, 0.1Y = 3X + 1
σY =
5.正規分布ふつう
X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 35.1 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 35.1 min
P =
6.正規分布むずかしい
電池の寿命 は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの下位 40% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
7.信頼区間ふつう
30 個からなる標本の平均は 85、標準偏差は s = 20 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 30x̄ = 85s = 2099%t(29) = 2.756
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 9 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 9E = 190%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 73.7、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 73.7s = 5n = 100
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 200 対 H₁: μ < 200 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 30 であることがわかっています。実際の平均は 193.4 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 200μ = 193.4σ = 30n = 100α = 0.10
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 27 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 27
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 12.93
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 147/5 = 29.4
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 15.6² + (−8.4)² + 4.6² + (−17.4)² + 5.6² = 669.2
標準偏差
s = √(669.2/4) = 12.93
答え
s = 12.93
2.記述統計
答え: P = 0.1151
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1.2
標準正規分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151
答え
P = 0.1151
3.確率
答え: Var(X) = 2.31
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.35 + 1·0.15 + 2·0.1 + 3·0.25 + 4·0.15 = 1.7
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.15 + 4·0.1 + 9·0.25 + 16·0.15 = 5.2
分散
Var(X) = 5.2 − 1.7² = 2.31
答え
Var(X) = 2.31
4.確率
答え: σY = 27.29
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 23.5, Var(X) = 82.75, σX = 9.097
一次変換
σY = |3|·9.097 = 27.29
答え
σY = 27.29
平均は変化します：E(Y) = 3·23.5 + 1 = 71.5。
5.正規分布
答え: P = 0.1075
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
標準化する
z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24
上側確率
P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075
答え
P = 0.1075
6.正規分布
答え: x = 490 h
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.4
表からの z
z ≈ −0.25
元の単位に戻す
x = 500 − 0.25·40 = 490 h
答え
x = 490 h
7.信頼区間
答え: 上限 = 95.06
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 29, t = 2.756
誤差の幅
E = 2.756·20/√30 = 10.06
区間
85 ± 10.06 → [74.94, 95.06]
答え
上限 = 95.06
8.信頼区間
答え: n = 220
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·9/1)² = 219.2
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 220
答え
n = 220
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.6
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
検定統計量
t = (73.7 − 75)/0.5 = −2.6
答え
t = −2.6
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 17.93 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 200 − 1.282·3 = 196.2
真の平均のもとでの z
z = (196.2 − 193.4)/3 = 0.918
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z < 0.918) = 82.07%
β = 100% − 82.07% = 17.93%
答え
β = 17.93%
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9765
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 685/5 = 137
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 546
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3392
決定係数
r² = 546²/(90·3392) = 0.9765
答え
r² = 0.9765
y の変動の約 97.65% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 128.5
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 648/6 = 108
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 358
回帰直線
b = 358/70 = 5.114
a = 108 − 5.114·23 = −9.629
ŷ = −9.629 + 5.114·x
予測
ŷ = −9.629 + 5.114·27 = 128.5
答え
ŷ = 128.5
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