統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
1520253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい：52, 28, 18, 14, 54, 33。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 100、標準偏差 10 の正規分布に従います。88 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 100σ = 10x = 88
P =
3.確率ふつう
xp(x)00.0510.3520.230.240.2μ = 2.15

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.35, 0.2, 0.2, 0.2
Var(X) =
4.確率むずかしい
€p(x)−20.7360.25180.02

ゲームの参加費は €2 です。確率 0.25 で €8、確率 0.02 で €20 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €2€8: p = 0.25€20: p = 0.02
E(G) = €
5.正規分布ふつう
436540P = ?

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。436 から 540 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 500σ = 40x1 = 436x2 = 540
P =
6.正規分布むずかしい
557085100115130145点下端 75%

IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの下位 75% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点75%
x = 点
7.信頼区間ふつう
n = 16, sd​ = 6.30LU = ?d̄ = 4.7E95%

16 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 4.7、標準偏差は 6.3 です。 差の平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 16d̄ = 4.7sd = 6.395%t(15) = 2.131
上限 = mmHg
8.信頼区間むずかしい
σ = 35, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

母標準偏差は 35 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 35E = 595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.13102.131

学生 16 人の標本の平均点は 123、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 123s = 10n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0.05βσ = 18, 検出力 95%, n = ?

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 4 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 18 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 95%δ = 4σ = 18zα = 1.645zβ = 1.645
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy251357459565674xy246506070

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy178620105231272614729150xy202530100120140x = 24.5

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 24.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 24.5
ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 16.81

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 199/6 = 33.17

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 18.83² + (−5.167)² + (−15.17)² + (−19.17)² + 20.83² + (−0.1667)² = 1413

標準偏差

s = √(1413/5) = 16.81

答え

s = 16.81
2.記述統計

答え: P = 0.1151

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −1.2

標準正規分布表

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151

答え

P = 0.1151
3.確率

答え: Var(X) = 1.527

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.05 + 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.2 + 4·0.2 = 2.15

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.2 + 16·0.2 = 6.15

分散

Var(X) = 6.15 − 2.15² = 1.527

答え

Var(X) = 1.527
4.確率

答え: E(G) = 0.4 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 6 (p = 0.25), 18 (p = 0.02), −2 (p = 0.73)

期待値

E(G) = 6·0.25 + 18·0.02 − 2·0.73 = 0.4 €

答え

E(G) = 0.4 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

5.正規分布

答え: P = 0.7865

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (436 − 500)/40 = −1.6
z₂ = (540 − 500)/40 = 1

間の面積

P = Φ(1) − Φ(−1.6) = 0.8413 − 0.0548 = 0.7865

答え

P = 0.7865
6.正規分布

答え: x = 110.1 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.75

表からの z

z ≈ 0.67

元の単位に戻す

x = 100 + 0.67·15 = 110.1 点

答え

x = 110.1 点
7.信頼区間

答え: 上限 = 8.056 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 15, t = 2.131

誤差の幅

E = 2.131·6.3/√16 = 3.356

区間

4.7 ± 3.356 → [1.344, 8.056]

答え

上限 = 8.056 mmHg
8.信頼区間

答え: n = 189

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·35/5)² = 188.2

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 189

答え

n = 189
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.2

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

検定統計量

t = (123 − 120)/2.5 = 1.2

答え

t = 1.2
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 220

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 1.645)·18/4)² = 219.2

切り上げる

n = 220

答え

n = 220
11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9567

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 306/5 = 61.2

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 304.8

決定係数

r² = 54²/(10·304.8) = 0.9567

答え

r² = 0.9567

y の変動の約 95.67% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 131.5

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 615/5 = 123

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 510

回帰直線

b = 510/90 = 5.667
a = 123 − 5.667·23 = −7.333
ŷ = −7.333 + 5.667·x

予測

ŷ = −7.333 + 5.667·24.5 = 131.5

答え

ŷ = 131.5

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