記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：11, 60, 18, 10, 36, 50。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 15 の正規分布に従います。78.75 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60σ = 15x = 78.75
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.35, 0.25, 0.3
σ =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €1 です。確率 0.15 で €5、確率 0.05 で €50 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €1€5: p = 0.15€50: p = 0.05
E(G) = €
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0594 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.0594
z =
6.正規分布むずかしい
袋の重さ は、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの下位 95% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
7.信頼区間ふつう
7 個からなる標本の平均は 57、標準偏差は s = 6.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 7x̄ = 57s = 6.590%t(6) = 1.943
E =
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：11 区画、平均収量 82 kg、標準偏差 10 kg。区画群 2：10 区画、平均 72 kg、標準偏差 9.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 11x̄₁ = 82s₁ = 10n₂ = 10x̄₂ = 72s₂ = 9.595%t(19) = 2.093
下限 = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 55.1、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 50x̄ = 55.1s = 12n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 15 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 15E = 195%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 15Σy = 200Σx² = 55Σy² = 8222Σxy = 644
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 37 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 37
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 21.15
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 185/6 = 30.83
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−19.83)² + 29.17² + (−12.83)² + (−20.83)² + 5.167² + 19.17² = 2237
標準偏差
s = √(2237/5) = 21.15
答え
s = 21.15
2.記述統計
答え: P = 0.1056
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1.25
標準正規分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
答え
P = 0.1056
3.確率
答え: σ = 9.937
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.1 + 20·0.35 + 30·0.25 + 40·0.3 = 27.5
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.1 + 400·0.35 + 900·0.25 + 1600·0.3 = 855
分散
Var(X) = 855 − 27.5² = 98.75
σ = √98.75 = 9.937
答え
σ = 9.937
4.確率
答え: E(G) = 2.25 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 4 (p = 0.15), 49 (p = 0.05), −1 (p = 0.8)
期待値
E(G) = 4·0.15 + 49·0.05 − 1·0.8 = 2.25 €
答え
E(G) = 2.25 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: z = 1.56
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.0594 = 0.9406
z 表を逆に読む
表の中で 0.9406 を見つけ、z を読み取ります。
z = 1.56
答え
z = 1.56
6.正規分布
答え: x = 258.2 g
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.95
表からの z
z ≈ 1.64
元の単位に戻す
x = 250 + 1.64·5 = 258.2 g
答え
x = 258.2 g
7.信頼区間
答え: E = 4.774
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 6, t = 1.943
誤差の幅
E = 1.943·6.5/√7 = 4.774
答え
E = 4.774
8.信頼区間
答え: 下限 = 1.069 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (10·10² + 9·9.5²)/19 = 95.38
sp = 9.766
誤差の幅
E = 2.093·9.766·√(1/11 + 1/10) = 8.931
区間
10 ± 8.931 → [1.069, 18.93]
答え
下限 = 1.069 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.7
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
検定統計量
t = (55.1 − 50)/3 = 1.7
答え
t = 1.7
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 865
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.96·15/1)² = 864.4
切り上げる
n = 865
答え
n = 865
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9338
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 644 − 15·200/5 = 44
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 8222 − 200²/5 = 222
相関係数
r = 44/√(10·222) = 0.9338
答え
r = 0.9338
12.線形回帰と相関
答え: x = 10.89
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 146/6 = 24.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
回帰直線
b = 228/70 = 3.257
a = 24.33 − 3.257·7 = 1.533
ŷ = 1.533 + 3.257·x
x について解く
x = (37 − 1.533)/3.257 = 10.89
答え
x = 10.89
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