記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：60, 42, 29, 35, 22, 28, 12。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 8 の正規分布に従います。66 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50σ = 8x = 66
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.15, 0.25, 0.05, 0.3
σ =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €3 です。確率 0.1 で €15、確率 0.01 で €30 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €3€15: p = 0.1€30: p = 0.01
E(G) = €
5.正規分布ふつう
X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 34.5 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 34.5 min
P =
6.正規分布むずかしい
IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。全体の 25% がそれより下にある値 x（第 25 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 100σ = 15P = 25%
x = 点
7.信頼区間ふつう
13 個からなる標本の平均は 10.5、標準偏差は s = 12.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 13x̄ = 10.5s = 12.590%t(12) = 1.782
上限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 11 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 11E = 0.590%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 68.8、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 68.8s = 12n = 36
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
25 回の測定の標本平均は 106.4 です。母標準偏差は 20 です。平均の 95% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 106.4σ = 20n = 2595%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 34 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 34
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 15.36
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 228/7 = 32.57
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 27.43² + 9.429² + (−3.571)² + 2.429² + (−10.57)² + (−4.571)² + (−20.57)² = 1416
標準偏差
s = √(1416/6) = 15.36
答え
s = 15.36
2.記述統計
答え: P = 0.9772
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 2
標準正規分布表
Φ(2) = 0.9772
P = 0.9772
答え
P = 0.9772
3.確率
答え: σ = 1.549
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.25 + 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.05 + 4·0.3 = 2
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.05 + 16·0.3 = 6.4
分散
Var(X) = 6.4 − 2² = 2.4
σ = √2.4 = 1.549
答え
σ = 1.549
4.確率
答え: E(G) = −1.2 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 12 (p = 0.1), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.89)
期待値
E(G) = 12·0.1 + 27·0.01 − 3·0.89 = −1.2 €
答え
E(G) = −1.2 €
負の値は、平均して損をすることを意味します。
5.正規分布
答え: P = 0.1587
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
標準化する
z = (34.5 − 32)/2.5 = 1
上側確率
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587
答え
P = 0.1587
6.正規分布
答え: x = 89.88 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
x に戻す
x = 100 + −0.6745·15 = 89.88 点
答え
x = 89.88 点
7.信頼区間
答え: 上限 = 16.68
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 12, t = 1.782
誤差の幅
E = 1.782·12.5/√13 = 6.178
区間
10.5 ± 6.178 → [4.322, 16.68]
答え
上限 = 16.68
8.信頼区間
答え: n = 1310
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·11/0.5)² = 1310
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 1310
答え
n = 1310
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −3.1
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
検定統計量
t = (68.8 − 75)/2 = −3.1
答え
t = −3.1
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 114.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.96·20/√25 = 7.84
区間の端
U = 106.4 + 7.84 = 114.2
答え
U = 114.2
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9911
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 386/6 = 64.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 338
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1661
相関係数
r = 338/√(70·1661) = 0.9911
答え
r = 0.9911
12.線形回帰と相関
答え: x = 11.11
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 130/6 = 21.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210
回帰直線
b = 210/70 = 3
a = 21.67 − 3·7 = 0.6667
ŷ = 0.6667 + 3·x
x について解く
x = (34 − 0.6667)/3 = 11.11
答え
x = 11.11
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