記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 14, 54, 39, 37, 53。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 50、標準偏差 8 の正規分布に従います。60 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 50σ = 8x = 60
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.15, 0.3
σ =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 5p = 0.5k = 1
P =
5.正規分布ふつう
荷物を持つ乗客 の質量は互いに独立で、平均 85 kg、標準偏差 12 kg の正規分布に従います。そのうち 10 個の合計質量が 831 kg を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10< 831 kg
P =
6.正規分布むずかしい
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 75% がそれより下にある値 x（第 75 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
7.信頼区間ふつう
6 個からなる標本の平均は 67、標準偏差は s = 12 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 6x̄ = 67s = 1290%t(5) = 2.015
下限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 25 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 25E = 499%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 200.3、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 200.3s = 5n = 100
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 15 であることがわかっています。実際の平均は 95 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 100μ = 95σ = 15n = 36α = 0.01
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 8 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 5ŷ = 8
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 17.35
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 213/6 = 35.5
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−19.5)² + (−21.5)² + 18.5² + 3.5² + 1.5² + 17.5² = 1506
標準偏差
s = √(1506/5) = 17.35
答え
s = 17.35
2.記述統計
答え: z = 1.25
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (60 − 50)/8 = 1.25
答え
z = 1.25
3.確率
答え: σ = 1.162
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.15 + 4·0.3 = 2.5
2 乗の平均
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.15 + 16·0.3 = 7.6
分散
Var(X) = 7.6 − 2.5² = 1.35
σ = √1.35 = 1.162
答え
σ = 1.162
4.確率
答え: P = 0.1563
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 1) = 5·0.51·0.54 = 5·0.5·0.0625 = 0.1563
答え
P = 0.1563
5.正規分布
答え: P = 0.3085
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 850 kg, σT = 12·√10 = 37.95 kg
標準化する
z = (831 − 850)/37.95 = −0.5
確率
P = Φ(−0.5) = 0.3085
答え
P = 0.3085
6.正規分布
答え: x = 253.4 g
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
x に戻す
x = 250 + 0.6745·5 = 253.37 g
答え
x = 253.37 g
7.信頼区間
答え: 下限 = 57.13
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 5, t = 2.015
誤差の幅
E = 2.015·12/√6 = 9.871
区間
67 ± 9.871 → [57.13, 76.87]
答え
下限 = 57.13
8.信頼区間
答え: n = 260
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·25/4)² = 259.2
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 260
答え
n = 260
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.6
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
検定統計量
t = (200.3 − 200)/0.5 = 0.6
答え
t = 0.6
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 37.22 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 15/√36 = 2.5
x̄c = 100 − 2.326·2.5 = 94.19
真の平均のもとでの z
z = (94.19 − 95)/2.5 = −0.326
電力
検出力 = P(Z < −0.326) = 37.22%
1 − β = 37.22%
答え
1 − β = 37.22%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9945
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 125/5 = 25
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
Syy = Σ(y − ȳ)² = 584
相関係数
r = 152/√(40·584) = 0.9945
答え
r = 0.9945
12.線形回帰と相関
答え: x = 2.909
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 57/5 = 11.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44
回帰直線
b = 44/40 = 1.1
a = 11.4 − 1.1·6 = 4.8
ŷ = 4.8 + 1.1·x
x について解く
x = (8 − 4.8)/1.1 = 2.909
答え
x = 2.909
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