記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：49, 48, 11, 42, 23, 26, 26。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 50 の正規分布に従います。575 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 50x = 575
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.2, 0.25, 0.1, 0.1
σ =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €3 です。確率 0.15 で €12、確率 0.05 で €30 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €3€12: p = 0.15€30: p = 0.05
E(G) = €
5.正規分布ふつう
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。26.3 から 33.5 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 32σ = 6x1 = 26.3x2 = 33.5
P =
6.正規分布むずかしい
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 80% がそれより下にある値 x（第 80 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：40 台、平均 127.5 h、既知の標準偏差 12 h。機種 2：50 台、平均 137 h、既知の標準偏差 15 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 40x̄₁ = 127.5 hσ₁ = 12 hn₂ = 50x̄₂ = 137 hσ₂ = 15 h99%
E = h
8.信頼区間むずかしい
不良品の割合について事前には何もわかっていません。 割合の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.05 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p = 0.5E = 0.0595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：40 個の部品の標本の平均長さは 114.5 mm で、ラインの既知の標準偏差は 3 mm です。ライン 2：50 個の部品の標本の平均は 115.8 mm、既知の標準偏差は 3 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
n₁ = 40x̄₁ = 114.5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 50x̄₂ = 115.8 mmσ₂ = 3 mm
z =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 250 人中 88 人、治療 B の患者 150 人中 71 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 71n₂ = 150
z =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 36Σy = 288Σx² = 286Σy² = 14940Σxy = 2004
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 64 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 64
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.37
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 225/7 = 32.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 16.86² + 15.86² + (−21.14)² + 9.857² + (−9.143)² + (−6.143)² + (−6.143)² = 1239
標準偏差
s = √(1239/6) = 14.37
答え
s = 14.37
2.記述統計
答え: z = 1.5
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (575 − 500)/50 = 1.5
答え
z = 1.5
3.確率
答え: σ = 1.319
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.25 + 4·0.1 + 5·0.1 = 2.4
2 乗の平均
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.25 + 16·0.1 + 25·0.1 = 7.5
分散
Var(X) = 7.5 − 2.4² = 1.74
σ = √1.74 = 1.319
答え
σ = 1.319
4.確率
答え: E(G) = 0.3 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 9 (p = 0.15), 27 (p = 0.05), −3 (p = 0.8)
期待値
E(G) = 9·0.15 + 27·0.05 − 3·0.8 = 0.3 €
答え
E(G) = 0.3 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: P = 0.4277
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (26.3 − 32)/6 = −0.95
z₂ = (33.5 − 32)/6 = 0.25
間の面積
P = Φ(0.25) − Φ(−0.95) = 0.5987 − 0.1711 = 0.4277
答え
P = 0.4277
6.正規分布
答え: x = 183.9 cm
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
x に戻す
x = 178 + 0.8416·7 = 183.89 cm
答え
x = 183.89 cm
7.信頼区間
答え: E = 7.331 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 127.5 − 137 = −9.5
標準誤差
SE = √(12²/40 + 15²/50) = 2.846
誤差の幅
E = 2.576·2.846 = 7.331
答え
E = 7.331 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
8.信頼区間
答え: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.96²·0.5·0.5/0.05² = 384.2
切り上げる
n = 385
答え
n = 385
9.仮説検定と信頼区間
答え: z = −2.043
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差の標準誤差
SE = √(3²/40 + 3²/50) = √0.405 = 0.6364
検定統計量
z = (114.5 − 115.8)/0.6364 = −2.043
答え
z = −2.043
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: z = −2.401
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率
p̂₁ = 88/250 = 0.352
p̂₂ = 71/150 = 0.4733
p̂ = 159/400 = 0.3975
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.3975·0.6025·(1/250 + 1/150)) = 0.05054
検定統計量
z = (0.352 − 0.4733)/0.05054 = −2.401
答え
z = −2.401
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9875
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 2004 − 36·288/6 = 276
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 14940 − 288²/6 = 1116
相関係数
r = 276/√(70·1116) = 0.9875
答え
r = 0.9875
12.線形回帰と相関
答え: x = 1.976
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 563/6 = 93.83
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 519
回帰直線
b = 519/70 = 7.414
a = 93.83 − 7.414·6 = 49.35
ŷ = 49.35 + 7.414·x
x について解く
x = (64 − 49.35)/7.414 = 1.976
答え
x = 1.976
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