記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：12, 28, 56, 20, 21, 36, 59。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 500、標準偏差 60 の正規分布に従います。560 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 500σ = 60x = 560
P =
3.確率ふつう
公正なさいころを 4 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 4
P =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = −2X + 5 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.25, 0.15, 0.35Y = −2X + 5
σY =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.3336 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.3336
z =
6.正規分布むずかしい
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 65σ = 10P = 97.5%
x = 点
7.信頼区間ふつう
12 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 5、標準偏差は 0.5 です。 差の平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 12d̄ = 5sd = 0.595%t(11) = 2.201
上限 = mmHg
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 16 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 16E = 1.595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 98.2、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 100x̄ = 98.2s = 4n = 16
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 9 であることがわかっています。実際の平均は 504.2 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500μ = 504.2σ = 9n = 36α = 0.05
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 27Σy = 452Σx² = 139Σy² = 34516Σxy = 2120
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 3.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 3.5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.22
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 232/7 = 33.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−21.14)² + (−5.143)² + 22.86² + (−13.14)² + (−12.14)² + 2.857² + 25.86² = 1993
標準偏差
s = √(1993/6) = 18.22
答え
s = 18.22
2.記述統計
答え: P = 0.8413
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答え
P = 0.8413
3.確率
答え: P = 0.5177
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
答え
P = 0.5177
4.確率
答え: σY = 24
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 26, Var(X) = 144, σX = 12
一次変換
σY = |−2|·12 = 24
答え
σY = 24
平均は変化します：E(Y) = −2·26 + 5 = −47。
5.正規分布
答え: z = 0.43
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.3336 = 0.6664
z 表を逆に読む
表の中で 0.6664 を見つけ、z を読み取ります。
z = 0.43
答え
z = 0.43
6.正規分布
答え: x = 84.6 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
x に戻す
x = 65 + 1.96·10 = 84.6 点
答え
x = 84.6 点
7.信頼区間
答え: 上限 = 5.318 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
臨界値
df = 11, t = 2.201
誤差の幅
E = 2.201·0.5/√12 = 0.3177
区間
5 ± 0.3177 → [4.682, 5.318]
答え
上限 = 5.318 mmHg
8.信頼区間
答え: n = 438
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·16/1.5)² = 437.1
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 438
答え
n = 438
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.8
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
検定統計量
t = (98.2 − 100)/1 = −1.8
答え
t = −1.8
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 12.4 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 9/√36 = 1.5
x̄c = 500 + 1.645·1.5 = 502.5
真の平均のもとでの z
z = (502.5 − 504.2)/1.5 = −1.155
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z > −1.155) = 87.6%
β = 100% − 87.6% = 12.4%
答え
β = 12.4%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.953
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 2120 − 27·452/6 = 86
Sxx = 139 − 27²/6 = 17.5
Syy = 34516 − 452²/6 = 465.3
相関係数
r = 86/√(17.5·465.3) = 0.953
答え
r = 0.953
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 20.33
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 122/6 = 20.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40
回帰直線
b = −40/17.5 = −2.286
a = 20.33 − (−2.286)·3.5 = 28.33
ŷ = 28.33 − 2.286·x
予測
ŷ = 28.33 + (−2.286)·3.5 = 20.33
答え
ŷ = 20.33
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