構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 15 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​1 m1.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 5 mP1 = 15 kN 位置 1 mP2 = 10 kN 位置 2.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 5 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​2 m0.5 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 4 mP = 15 kN 位置 2.5 mw = 5 kN/m（0 から 2 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 10 kN/mAB断面2.5 m1.5 m

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mw = 10 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mP = 45 kNAB1.5 m2.5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 4 mP = 45 kN 位置 1.5 mw = 5 kN/m（0 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB50 kN6 m4 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 50 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB45 kN25 kN8 m5 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 25 kN →
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 9 kNABδ3.5 m1.5 m

単純ばりの支点 A から a = 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 9 kNa = 3.5 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 2 kN/mδL = 3 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 md = 30 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 15 kNL = 2 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 15 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 15 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 17 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 15 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​1 m1.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 10·2.5
RB = 40/5 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 8 = 17 kN

答え

RA = 17 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 13.13 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 5 kN/mP = 15 kNABRA​RB​2 m0.5 m1.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN、作用点 x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·2.5 + 5·2·1
RB = 47.5/4 = 11.88 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 11.88 = 13.13 kN

答え

RA = 13.13 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 18.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·4·2
RB = 80/4 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20断面2.5 m1.5 m

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 20·2.5 − 10·2.5·1.25 = 18.75 kN·m

答え

Mx = 18.75 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 51.56 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·1.5 + 5·4·2
RB = 107.5/4 = 26.88 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 26.88 = 38.13 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 30.63 kN
V(1.5⁺) = 30.63 − 45 = −14.38 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 38.13·1.5 − 5·1.5²/2 = 51.56 kN·m

答え

Mmax = 51.56 kN·m

それは A から x = 1.5 m の位置に生じます。

5.トラス：節点法

答え: FBC = −47.14 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·4 → Cy = 33.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 33.33 = 16.67 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33.33/0.7071 = −47.14 kN

答え

FBC = −47.14 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −53.03 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·5 + 25·3 → Cy = 37.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 37.5 = 7.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37.5/0.7071 = −53.03 kN

答え

FBC = −53.03 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δP = 1.477 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 9000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 9000·3500²·1500²/(3·1.12 × 10¹³·5000) = 1.477 mm

答え

δP = 1.477 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 1.266 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3000⁴/(384·200000·8.333) = 1.266 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.266 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 1.266 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 27.47 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27.47 kN

答え

Pcr = 27.47 kN
10.柱の座屈

答え: d = 49.88 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 49.88 mm

答え

d = 49.88 mm

確認：細長比 KL/r は 320.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis