構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w0​ = 6 kN/mABRA​ = ?10 m

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 6 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。 鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 10 mw0 = 6 kN/m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 80 kN, 45°Q = 70 kNABα = ?3 m2.5 m0.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 3 m の位置に水平と 45° をなす荷重 P が、A から 5.5 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力と水平とのなす角 α を求めよ。

L = 6 mP = 80 kN 位置 3 m, θ = 45°Q = 70 kN 位置 5.5 m
α = °
3.せん断力と曲げモーメントふつう
50 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 5 m40 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 3 kN/mP = 80 kNAB3 m1 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 4 mP = 80 kN 位置 3 mw = 3 kN/m（0 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB15 kN6 m2 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 15 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB10 kN15 kN5 m2 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 15 kN ←
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
P = 12 kNABδ1.5 m1.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 12 kNa = 1.5 mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mP = 6 kNδL = 4 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 6 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 m25 × 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 2.5 md = 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 20 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·6·10 = 30 kN
x̄ = L/3 = 3.333 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 30·3.333
RB = 10 kN
RA = 30 − 10 = 20 kN

答え

RA = 20 kN
2.はりの支点反力

答え: α = 31.1 °

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 80·sin 45° = 56.57 kN
Ph = 80·cos 45° = 56.57 kN

反力

ΣMA = 0: RB·6 = 56.57·3 + 70·5.5 → RB = 92.45 kN
Ay = 56.57 + 70 − 92.45 = 34.12 kN
Ax = Ph = 56.57 kN

A での向き

α = atan(Ay/Ax) = atan(34.12/56.57) = 31.1°

答え

α = 31.1°
3.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 28.33 kN, R2 = 61.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 28.33, MC = 56.67, MD = 85 kN·m, ME = 73.33, MF = 61.67, MG = 0

答え

点 D: MD = 85 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 64.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 80·3 + 3·4·2
RB = 264/4 = 66 kN
ΣFy = 0: RA = 92 − 66 = 26 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(3⁻) = RA − w·3 = 17 kN
V(3⁺) = 17 − 80 = −63 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 26·3 − 3·3²/2 = 64.5 kN·m

答え

Mmax = 64.5 kN·m

それは A から x = 3 m の位置に生じます。

5.トラス：節点法

答え: FAB = −12.02 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5 = 10 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0.8321 = −12.02 kN

答え

FAB = −12.02 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −18.03 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·2 − 15·3 → Cy = −5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −5 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0.8321 = −18.03 kN

答え

FAB = −18.03 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δP = 53.36 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 12000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa³/(3EI) = 12000·1500³/(3·2.53 × 10¹¹) = 53.36 mm

答え

δP = 53.36 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 69.05 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 6000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 6000·4000³/(48·8.4 × 10¹¹) = 9.524 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 59.52 mm

足し合わせる

δmax = 9.524 + 59.52 = 69.05 mm

答え

δmax = 69.05 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 27.54 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1400² = 27538 N = 27.54 kN

答え

Pcr = 27.54 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 24.87 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/15 = 166.7

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166.7² = 24.87 MPa

答え

σcr = 24.87 MPa

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