はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 8 mP1 = 35 kN 位置 2 mP2 = 55 kN 位置 4 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 4 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 2.5 m の位置の集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。
L = 6 mw0 = 4 kN/mP = 45 kN 位置 2.5 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 30 kN 位置 5 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 6 mw = 12 kN/m（0 から 6 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 50 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 25 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 125 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 125 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 36.25 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·8 = 35·2 + 55·4
RB = 290/8 = 36.25 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 36.25 = 53.75 kN
答え
RB = 36.25 kN
2.はりの支点反力
答え: MA = 160.5 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
三角形分布荷重の合力
W = ½·4·6 = 12 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m
壁まわりのモーメント
MA = W·x̄ + P·a = 12·4 + 45·2.5 = 160.5 kN·m
答え
MA = 160.5 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −152 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −30·4 = −120 kN·m
w: −4·4²/2 = −32 kN·m
Mx = −120 − 32 = −152 kN·m
答え
Mx = −152 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 34.56 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·6·3
RB = 216/5 = 43.2 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 43.2 = 28.8 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 28.8/12 = 2.4 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 28.8²/(2·12) = 34.56 kN·m
答え
Mmax = 34.56 kN·m
5.トラス：節点法
答え: FAB = −36.06 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN
節点 A
すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。
sin α = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0.5547 = −36.06 kN
答え
FAB = −36.06 kN (圧縮)
6.トラス：節点法
答え: FAB = −2.253 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·6 + 25·4 → Cy = 53.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 53.75 = 1.25 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
節点 A
すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。
sin α = 4/7.211 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −1.25/0.5547 = −2.253 kN
答え
FAB = −2.253 kN (圧縮)
7.はりのたわみ
答え: δmax = 5.669 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 5.669 mm
答え
δmax = 5.669 mm
8.はりのたわみ
答え: hreq = 131.5 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/250 = 4000/250 = 16 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4000⁴/(384·11000·16) = 1.894 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.894 × 10⁷/100)1/3 = 131.5 mm
答え
hreq = 131.5 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
9.柱の座屈
答え: Pcr = 7.343 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/3500² = 7343 N = 7.343 kN
答え
Pcr = 7.343 kN
10.柱の座屈
答え: d = 76.82 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 76.82 mm
答え
d = 76.82 mm
確認：細長比 KL/r は 156.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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