はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁から 4.5 m まで等分布荷重 w が作用し、壁から 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。
L = 6 mP = 65 kN 位置 2 mw = 4 kN/m（0 から 4.5 m まで）
MA = kN·m
2.はりの支点反力むずかしい
複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 4 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 8 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 5 m の位置の集中荷重 P および A から 3 m の位置の集中荷重 Q である。 ローラーの反力 RD を求めよ。
AC = 4 mAD = 8 mP = 80 kN 位置 5 mQ = 75 kN 位置 3 m
RD = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 1.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mw = 4 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1.5 m
Vx = kN
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 30 kN 位置 2 mw = 6 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 30 kN ↓D: 15 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
6.トラス：節点法むずかしい
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 35 kN ↓C: 30 kN ↓D: 35 kN ↓H: 10 kN ↓H: 35 kN ←
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 FC
- 13部材 HC
7.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 17 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.はりの支点反力
答え: MA = 170.5 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
分布荷重の合力
W = 4·4.5 = 18 kN, x̄ = 2.25 m
壁まわりのモーメント
MA = P·a + W·x̄ = 65·2 + 18·2.25 = 170.5 kN·m
答え
MA = 170.5 kN·m
2.はりの支点反力
答え: RD = 20 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。 中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。
部分 CD
ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。
ΣMC = 0: RD·4 = 80·1
RD = 20 kN
VC = 80 − 20 = 60 kN
答え
RD = 20 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = 6 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·6·3
RB = 72/6 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 12 − 4·1.5 = 6 kN
答え
Vx = 6 kN
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 33.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·2 + 6·4·2
RB = 108/4 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 27 = 27 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 27·1.5 − 6·1.5·0.75 = 33.75 kN·m
答え
Mx = 33.75 kN·m
5.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 26.25 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 22.5 kN (T), DE: 18.75 kN (T), FG: 26.25 kN (C), GH: 18.75 kN (C), AF: 37.12 kN (C), HE: 26.52 kN (C), BF: 26.25 kN (T), CG: 0, DH: 18.75 kN (T), BG: 5.303 kN (T), DG: 5.303 kN (C)
答え
ゼロ部材: CG
6.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 G
FG と GH は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 26.25 kN (T), BC: 26.25 kN (T), CD: 48.75 kN (T), DE: 48.75 kN (T), FG: 87.5 kN (C), GH: 87.5 kN (C), AF: 86.62 kN (C), HE: 68.94 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 37.12 kN (T), HC: 5.303 kN (T)
答え
ゼロ部材: CG
7.はりのたわみ
答え: δB = 15.33 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 17000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 6.133 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.009199 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15.33 mm
答え
δB = 15.33 mm
8.はりのたわみ
答え: hreq = 245.1 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·16.67) = 9.205 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·9.205 × 10⁷/75)1/3 = 245.1 mm
答え
hreq = 245.1 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
9.柱の座屈
答え: Pcr = 6.407 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3500² = 6407 N = 6.407 kN
答え
Pcr = 6.407 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
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