はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 3 m の位置に集中荷重 P が、A から 7 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。
L = 8 mP = 40 kN 位置 3 mM = 60 kN·m (反時計回り) 位置 7 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 1 m の位置に水平と 50° をなす荷重 P が、A から 7 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。
L = 8 mP = 75 kN 位置 1 m, θ = 50°Q = 25 kN 位置 7 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 6 kN/m（0 から 8 m まで）x = 4 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8.5 mw = 4 kN/m（0 から 8.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 60 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
D: 20 kN ↓F: 15 kN ↓H: 25 kN ↓H: 15 kN ←
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。
P = 7 kNb = 1.5 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 7.5 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
A まわりのモーメント
反時計回りを正とします。
ΣMA = 0: RB·8 − 40·3 + 60 = 0
RB = 60/8 = 7.5 kN
鉛直方向のつり合い
RA = 40 − 7.5 = 32.5 kN
答え
RB = 7.5 kN
負の反力は下向きに作用します。
2.はりの支点反力
答え: RA = 71.94 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
P の成分
Pv = 75·sin 50° = 57.45 kN
Ph = 75·cos 50° = 48.21 kN
反力
ΣMA = 0: RB·8 = 57.45·1 + 25·7 → RB = 29.06 kN
Ay = 57.45 + 25 − 29.06 = 53.4 kN
Ax = Ph = 48.21 kN
A での合力
RA = √(48.21² + 53.4²) = 71.94 kN
答え
RA = 71.94 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 48 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
x = 4 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 24·4 − 6·4·2 = 48 kN·m
答え
Mx = 48 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 12.29 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·8.5 = 34 kN、作用点 x̄ = 4.25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·8.5·4.25
RB = 144.5/6 = 24.08 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 24.08 = 9.917 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 9.917/4 = 2.479 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 9.917²/(2·4) = 12.29 kN·m
答え
Mmax = 12.29 kN·m
5.トラス：節点法
答え: FBC = −26.93 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 10 = 50 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0.3714 = −26.93 kN
答え
FBC = −26.93 kN (圧縮)
6.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 5.625 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 24.37 kN (T), FG: 20.63 kN (C), GH: 39.38 kN (C), AF: 34.38 kN (C), HE: 40.62 kN (C), BF: 12.5 kN (T), CG: 0, DH: 7.5 kN (T), BG: 15.63 kN (C), DG: 15.63 kN (T)
答え
ゼロ部材: CG
7.はりのたわみ
答え: δmax = 31.9 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 31.9 mm
答え
δmax = 31.9 mm
8.はりのたわみ
答え: δmid = 2.578 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 7000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
中央たわみ
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 7000·1500·(3·6000² − 4·1500²)/(48·8.4 × 10¹²) = 2.578 mm
答え
δmid = 2.578 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.412 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2.412 kN
答え
Pcr = 2.412 kN
10.柱の座屈
答え: d = 54.57 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·55000 = 137500 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 54.57 mm
答え
d = 54.57 mm
確認：細長比 KL/r は 183.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis