はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 10 mP1 = 40 kN 位置 5 mP2 = 45 kN 位置 6 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 6 kN/m で自由端 B で 0 まで直線的に減少する分布荷重と、壁から 3 m の位置の集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。
L = 4 mw0 = 6 kN/mP = 10 kN 位置 3 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 6.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 2 kN/m（0 から 8 m まで）x = 6.5 m
Vx = kN
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 9 mw = 2 kN/m（0 から 9 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
MB = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 60 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 20 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 10 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 10 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RA = 38 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·10 = 40·5 + 45·6
RB = 470/10 = 47 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 47 = 38 kN
答え
RA = 38 kN
2.はりの支点反力
答え: MA = 46 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
三角形分布荷重の合力
W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = L/3 = 1.333 m
壁まわりのモーメント
MA = W·x̄ + P·a = 12·1.333 + 10·3 = 46 kN·m
答え
MA = 46 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = −5 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·8·4
RB = 64/8 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
x = 6.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 8 − 2·6.5 = −5 kN
答え
Vx = −5 kN
4.せん断力と曲げモーメント
答え: MB = −1 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·9 = 18 kN、作用点 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·9·4.5
RB = 81/8 = 10.13 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 10.13 = 7.875 kN
B で切断し、張出し部を残す
張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。
MB = −w·a²/2 = −2·1²/2 = −1 kN·m
答え
MB = −1 kN·m
5.トラス：節点法
答え: FAC = 24 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 24 = 36 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24/0.7071 = −33.94 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−33.94)·0.7071 = 24 kN
答え
FAC = 24 kN (引張)
6.トラス：節点法
答え: FAC = −11.25 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·4 = 10·1 − 20·2 → Cy = −7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −7.5 = 17.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−7.5/0.5547 = 13.52 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(13.52)·0.8321 = −11.25 kN
答え
FAC = −11.25 kN (圧縮)
7.はりのたわみ
答え: δmax = 33.42 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·9.35 × 10¹⁰) = 33.42 mm
答え
δmax = 33.42 mm
8.はりのたわみ
答え: Ireq = 920.5 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·6000⁴/(384·11000·16.67) = 9.205 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 920.5 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 920.5 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈
答え: Pcr = 7.369 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2500² = 7369 N = 7.369 kN
答え
Pcr = 7.369 kN
10.柱の座屈
答え: d = 60.05 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 60.05 mm
答え
d = 60.05 mm
確認：細長比 KL/r は 279.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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