構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 35 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?2 m0.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 5 mP1 = 35 kN 位置 2 mP2 = 10 kN 位置 2.5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m4 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP = 25 kN 位置 2 mw = 12 kN/m（1 から 2 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
30 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 5 m40 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mP = 70 kNAB1 m4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mP = 70 kN 位置 1 mw = 10 kN/m（0 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB45 kN5 m2 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 45 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB20 kN25 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 20 kN水平荷重 = 25 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mδL = 6 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 12 kN/mδL = 2 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 4 m40 × 100 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 120 kNL = 1.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 120 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 120 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 19 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 35 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​2 m0.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 35·2 + 10·2.5
RB = 95/5 = 19 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 19 = 26 kN

答え

RB = 19 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 11.33 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​RB​1 m1 m4 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN、作用点 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·2 + 12·1·1.5
RB = 68/6 = 11.33 kN
ΣFy = 0: RA = 37 − 11.33 = 25.67 kN

答え

RB = 11.33 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 18.33 kN, R2 = 51.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 18.33, MC = 36.67, MD = 55, ME = 73.33 kN·m, MF = 51.67, MG = 0

答え

点 E: ME = 73.33 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 76.05 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 70·1 + 10·5·2.5
RB = 195/5 = 39 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 39 = 81 kN

V = 0 となるのはどこですか？

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (81 − 70)/10 = 1.1 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 76.05 kN·m

答え

Mmax = 76.05 kN·m

それは A から x = 1.1 m の位置に生じます。

5.トラス：節点法

答え: FAC = 27 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·2 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 18 = 27 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18/0.5547 = −32.45 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−32.45)·0.8321 = 27 kN

答え

FAC = 27 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAB = 25 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 + 25·4 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 40 = −20 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−20/0.8 = 25 kN

答え

FAB = 25 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 12.05 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 12.05 mm

答え

δmax = 12.05 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 6.429 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2000⁴/(384·70000·5.556) = 6.429 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6.429 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 6.429 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 65.8 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·4000 = 4000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/4000² = 65797 N = 65.8 kN

答え

Pcr = 65.8 kN
10.柱の座屈

答え: d = 72.66 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·120000 = 300000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 72.66 mm

答え

d = 72.66 mm

確認：細長比 KL/r は 165.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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