はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 5 mP1 = 10 kN 位置 1 mP2 = 60 kN 位置 4 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 4.5 m の位置に水平と 40° をなす荷重 P が、A から 2.5 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力と水平とのなす角 α を求めよ。
L = 5 mP = 70 kN 位置 4.5 m, θ = 40°Q = 35 kN 位置 2.5 m
α = °
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに、A から x = 7 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 20 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mM0 = 20 kN·m 時計回り、位置 7 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mw = 20 kN/m（2 から 6 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 40 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 60 kN水平荷重 = 10 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1.5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 50 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 50 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 50 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·5 = 10·1 + 60·4
RB = 250/5 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 50 = 20 kN
答え
RB = 50 kN
2.はりの支点反力
答え: α = 22.31 °
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
P の成分
Pv = 70·sin 40° = 45 kN
Ph = 70·cos 40° = 53.62 kN
反力
ΣMA = 0: RB·5 = 45·4.5 + 35·2.5 → RB = 58 kN
Ay = 45 + 35 − 58 = 22 kN
Ax = Ph = 53.62 kN
A での向き
α = atan(Ay/Ax) = atan(22/53.62) = 22.31°
答え
α = 22.31°
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −14 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。
支点反力
A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 20/10 = 2 kN (上向き)
RA = −RB = −2 kN (下向き)
偶力のすぐ左で切断
左側部分には RA だけが含まれます。
Mx = RA·a = −2·7 = −14 kN·m
答え
Mx = −14 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 120 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 20·4 = 80 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·4·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
せん断力 0 の位置
せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 40/20 = 4 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 40·4 − 20·2²/2 = 120 kN·m
答え
Mmax = 120 kN·m
5.トラス：節点法
答え: FAC = 10.67 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·5 = 40·1 → Cy = 8 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 8 = 32 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8/0.6 = −13.33 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13.33)·0.8 = 10.67 kN
答え
FAC = 10.67 kN (引張)
6.トラス：節点法
答え: FAB = −37.27 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·2 + 10·4 → Cy = 26.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 26.67 = 33.33 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
節点 A
すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。
sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −33.33/0.8944 = −37.27 kN
答え
FAB = −37.27 kN (圧縮)
7.はりのたわみ
答え: δ = 48.83 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 20·5000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 48.83 mm
答え
δ = 48.83 mm
8.はりのたわみ
答え: hreq = 222.7 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1.5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·6000⁴/(384·11000·20) = 1.151 × 10⁸ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.151 × 10⁸/125)1/3 = 222.7 mm
答え
hreq = 222.7 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
9.柱の座屈
答え: Pcr = 34.88 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·3000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34.88 kN
答え
Pcr = 34.88 kN
10.柱の座屈
答え: d = 61.1 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 61.1 mm
答え
d = 61.1 mm
確認：細長比 KL/r は 196.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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