構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P = 60 kNM = 20 kN·mABRA​ = ?3 m0.5 m0.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 3 m の位置に集中荷重 P が、A から 3.5 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

L = 4 mP = 60 kN 位置 3 mM = 20 kN·m (反時計回り) 位置 3.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?5 m2 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 8 mP = 25 kN 位置 5 mw = 4 kN/m（5 から 7 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 10 kN/mAB断面3.5 m1.5 m

支点 A から x = 3.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mw = 10 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3.5 m
Vx = kN
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mP = 15 kNAB断面2.5 m2 m1.5 m

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 15 kN 位置 4.5 mw = 12 kN/m（0 から 6 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB40 kN5 m3 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 40 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB40 kN5 kN4 m1 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 5 kN →
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mδL = 4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 12 kN/mδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 m25 × 100 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 25 kNL = 2 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 25 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 25 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 20 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·4 − 60·3 + 20 = 0
RB = 160/4 = 40 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 60 − 40 = 20 kN

答え

RA = 20 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: RB = 21.63 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​RB​5 m2 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN、作用点 x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·5 + 4·2·6
RB = 173/8 = 21.63 kN
ΣFy = 0: RA = 33 − 21.63 = 11.38 kN

答え

RB = 21.63 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Vx = −10 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·5·2.5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25断面3.5 m1.5 m

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 25 − 10·3.5 = −10 kN

答え

Vx = −10 kN
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 61.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·4.5 + 12·6·3
RB = 283.5/6 = 47.25 kN
ΣFy = 0: RA = 87 − 47.25 = 39.75 kN
w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​ = 39.75RB​ = 47.25断面2.5 m2 m1.5 m

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 39.75·2.5 − 12·2.5·1.25 = 61.88 kN·m

答え

Mx = 61.88 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 12 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·3 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 24 = 16 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24/0.8944 = −26.83 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−26.83)·0.4472 = 12 kN

答え

FAC = 12 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 18.75 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB40 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 + 5·2 → Cy = 12.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 12.5 = 27.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12.5/0.5547 = −22.53 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22.53)·0.8321 = 18.75 kN

答え

FAC = 18.75 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 8.333 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 8.333 mm

答え

δmax = 8.333 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 12.56 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2500⁴/(384·70000·6.944) = 1.256 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 12.56 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 12.56 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 524.5 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1000 = 700 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/700² = 524533 N = 524.5 kN

答え

Pcr = 524.5 kN
10.柱の座屈

答え: d = 53.6 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 53.6 mm

答え

d = 53.6 mm

確認：細長比 KL/r は 298.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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