構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w = 4 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?5 m1 m4 m

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁から 5 m まで等分布荷重 w が作用し、壁から 6 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における鉛直反力 RA を求めよ。

L = 10 mP = 55 kN 位置 6 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​RB​ = ?1 m2.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP = 45 kN 位置 3.5 mw = 8 kN/m（1 から 6 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 75 kNP2​ = 65 kNABC1 m7 m1 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 支点 B のすぐ左側でのせん断力 Vx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 9 mP1 = 75 kN 位置 1 mP2 = 65 kN 位置 9 m支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Vx = kN
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mAB1 m2 m1 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 4 mw = 12 kN/m（1 から 3 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB20 kN6 m2 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 20 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB30 kN10 kN8 m3 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 10 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 14 kNABδ5 m3 m

単純ばりの支点 A から a = 5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 14 kNa = 5 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 2 kN/mP = 12 kNδL = 3 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 12 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 135 kNL = 3 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 135 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 135 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 75 kN

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

分布荷重の合力

W = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2.5 m

鉛直方向のつり合い

RA = P + W = 55 + 20 = 75 kN

答え

RA = 75 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 49.58 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​RB​1 m2.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·3.5 + 8·5·3.5
RB = 297.5/6 = 49.58 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 49.58 = 35.42 kN

答え

RB = 49.58 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Vx = −17.5 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·8 = 75·1 + 65·9
RB = 660/8 = 82.5 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 82.5 = 57.5 kN

B のすぐ左で切断し、左側を残す

Vx = RA − P1 = 57.5 − 75 = −17.5 kN

答え

Vx = −17.5 kN
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 18 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·2·2
RB = 48/4 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 12/12 = 2 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 12·2 − 12·1²/2 = 18 kN·m

答え

Mmax = 18 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −14.91 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 20·2 → Cy = 6.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 6.667 = 13.33 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.667/0.4472 = −14.91 kN

答え

FBC = −14.91 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 12.5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·3 − 10·3 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 7.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.5145 = −14.58 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14.58)·0.8575 = 12.5 kN

答え

FAC = 12.5 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δP = 15.63 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 14000 N, a = 5000 mm, b = 3000 mm, L = 8000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 14000·5000²·3000²/(3·8.4 × 10¹²·8000) = 15.63 mm

答え

δP = 15.63 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 35.02 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 12000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 12000·3000³/(48·2.53 × 10¹¹) = 26.68 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 8.337 mm

足し合わせる

δmax = 26.68 + 8.337 = 35.02 mm

答え

δmax = 35.02 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 248.1 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248.1 kN

答え

Pcr = 248.1 kN
10.柱の座屈

答え: d = 74.83 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 74.83 mm

答え

d = 74.83 mm

確認：細長比 KL/r は 160.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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