はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 8 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。 さらに A から 5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 10 mw0 = 8 kN/mP = 40 kN 位置 5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 4 m の位置に水平と 40° をなす荷重 P が、A から 1.5 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。
L = 5 mP = 35 kN 位置 4 m, θ = 40°Q = 10 kN 位置 1.5 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mP1 = 65 kN 位置 1 mP2 = 45 kN 位置 2 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 6 mP = 20 kN 位置 1.5 mw = 3 kN/m（0 から 6 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 10 kN ↓D: 35 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 FC
- 13部材 HC
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 25 kN水平荷重 = 15 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 4 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 33.33 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
三角形分布荷重の合力
W = ½·8·10 = 40 kN
x̄ = L/3 = 3.333 m
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·10 = 40·3.333 + 40·5
RB = 33.33 kN
RA = 80 − 33.33 = 46.67 kN
答え
RB = 33.33 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 29.17 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
P の成分
Pv = 35·sin 40° = 22.5 kN
Ph = 35·cos 40° = 26.81 kN
反力
ΣMA = 0: RB·5 = 22.5·4 + 10·1.5 → RB = 21 kN
Ay = 22.5 + 10 − 21 = 11.5 kN
Ax = Ph = 26.81 kN
A での合力
RA = √(26.81² + 11.5²) = 29.17 kN
答え
RA = 29.17 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 116.3 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·8 = 65·1 + 45·2
RB = 155/8 = 19.38 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 19.38 = 90.63 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·1 = 90.63·1 = 90.63 kN·m
荷重点 P2: M = RB·6 = 19.38·6 = 116.3 kN·m
最大値
Mmax = 116.3 kN·m (荷重点 P2)
答え
Mmax = 116.3 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 32.63 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1.5 + 3·6·3
RB = 84/6 = 14 kN
ΣFy = 0: RA = 38 − 14 = 24 kN
V = 0 となるのはどこですか？
V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 19.5 kN
V(1.5⁺) = 19.5 − 20 = −0.5 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。
最大モーメント
Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 24·1.5 − 3·1.5²/2 = 32.63 kN·m
答え
Mmax = 32.63 kN·m
それは A から x = 1.5 m の位置に生じます。
5.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 G
FG と GH は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 21.67 kN (T), BC: 21.67 kN (T), CD: 38.33 kN (T), DE: 38.33 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 27.08 kN (C), HE: 47.92 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 10.42 kN (T), HC: 10.42 kN (C)
答え
ゼロ部材: CG
6.トラス：節点法
答え: FAC = 9 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·3 − 15·2 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 9 = 16 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9/0.7071 = −12.73 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−12.73)·0.7071 = 9 kN
答え
FAC = 9 kN (引張)
7.はりのたわみ
答え: δ = 4.254 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·5.95 × 10¹¹) = 4.254 mm
答え
δ = 4.254 mm
8.はりのたわみ
答え: Ireq = 6.818 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·2000⁴/(384·11000·5.556) = 6.818 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6.818 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 6.818 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈
答え: Pcr = 22.66 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/2800² = 22660 N = 22.66 kN
答え
Pcr = 22.66 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 77.11 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12.5 = 160
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa
答え
σcr = 77.11 MPa
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