構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?2 m0.5 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 4 mP1 = 55 kN 位置 2 mP2 = 40 kN 位置 2.5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 3 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?RB​3 m3 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP = 25 kN 位置 3 mw = 3 kN/m（3 から 6 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 3 kN/mP = 15 kNAB3 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 3 mP = 15 kN 位置 3 mw = 3 kN/m（0 から 3 m まで）
MA = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 3 kN/mP = 35 kNAB断面5 m3 m

支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mP = 35 kN 位置 5 mw = 3 kN/m（0 から 8 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB10 kN4 m3 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 10 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB25 kN25 kN8 m3 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 25 kN水平荷重 = 25 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 20 kNABδ1 m4 m

単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 20 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 5 kN/mAB5 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 5 mw = 5 kN/m
RB = kN
9.柱の座屈ふつう
PL = 6 m30 × 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 15 kNL = 3 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 15 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 15 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 52.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​2 m0.5 m1.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 55·2 + 40·2.5
RB = 210/4 = 52.5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 52.5 = 42.5 kN

答え

RB = 52.5 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 14.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 3 kN/mP = 25 kNABRA​RB​3 m3 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·3 = 9 kN、作用点 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·3 + 3·3·4.5
RB = 115.5/6 = 19.25 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 19.25 = 14.75 kN

答え

RA = 14.75 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: MA = −58.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −15·3 = −45 kN·m
w: −3·3²/2 = −13.5 kN·m
MA = −45 − 13.5 = −58.5 kN·m

答え

MA = −58.5 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 88.13 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·5 + 3·8·4
RB = 271/8 = 33.88 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 33.88 = 25.13 kN
w = 3 kN/mP = 35 kNABRA​ = 25.13RB​ = 33.88断面5 m3 m

x = 5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 25.13·5 − 3·5·2.5 = 88.13 kN·m

答え

Mx = 88.13 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −3.536 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 7.5 = 2.5 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −2.5/0.7071 = −3.536 kN

答え

FAB = −3.536 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 7.813 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·3 − 25·2 → Cy = 3.125 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 3.125 = 21.88 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3.125/0.3714 = −8.414 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−8.414)·0.9285 = 7.813 kN

答え

FAC = 7.813 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δP = 3.628 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 20000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1000²·4000²/(3·5.88 × 10¹²·5000) = 3.628 mm

答え

δP = 3.628 mm
8.はりのたわみ

答え: RB = 9.375 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9.375 kN

答え

RB = 9.375 kN
9.柱の座屈

答え: Pcr = 10.07 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/4200² = 10071 N = 10.07 kN

答え

Pcr = 10.07 kN
10.柱の座屈

答え: d = 28.89 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 28.89 mm

答え

d = 28.89 mm

確認：細長比 KL/r は 207.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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