構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 65 kNP2​ = 60 kNABCRB​ = ?1 m3 m1 m

はりは A でピン支点、A から 4 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 4 mAC = 5 mP1 = 65 kN 位置 1 mP2 = 60 kN 位置 5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 5 kN/mP = 55 kNABCRA​ = ?1.5 m2.5 m1 m

はりは A でピン支点、A から 4 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用し、4 m から 5 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

AB = 4 mAC = 5 mP = 55 kN 位置 1.5 mw = 5 kN/m（4 から 5 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 55 kN·mAB5 m3 m

単純ばりに、A から x = 5 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 55 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mM0 = 55 kN·m 時計回り、位置 5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 4 kN/mP = 55 kNAB断面3 m1 m

支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 55 kN 位置 3 mw = 4 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB45 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 45 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB35 kN10 kN8 m6 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 35 kN水平荷重 = 10 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mABθ6 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.はりのたわみむずかしい
w = 20 kN/mδL = 3 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 m40 × 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 95 kNL = 3 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 95 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 91.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·4 = 65·1 + 60·5
RB = 365/4 = 91.25 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 65 + 60 − 91.25 = 33.75 kN

答え

RB = 91.25 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 33.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 5·1 = 5 kN, x̄ = (4 + 5)/2 = 4.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 55·1.5 + 5·4.5
RB = 105/4 = 26.25 kN
RA = 60 − 26.25 = 33.75 kN

答え

RA = 33.75 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 20.63 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 55/8 = 6.875 kN (上向き)
RA = −RB = −6.875 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には RA と偶力が含まれます。

Mx = RA·a + M0 = −6.875·5 + 55 = 20.63 kN·m

答え

Mx = 20.63 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 47.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·3 + 4·4·2
RB = 197/4 = 49.25 kN
ΣFy = 0: RA = 71 − 49.25 = 21.75 kN
w = 4 kN/mP = 55 kNABRA​ = 21.75RB​ = 49.25断面3 m1 m

x = 3 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 21.75·3 − 4·3·1.5 = 47.25 kN·m

答え

Mx = 47.25 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −14.06 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 → Cy = 33.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33.75 = 11.25 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11.25/0.8 = −14.06 kN

答え

FAB = −14.06 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 15 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·6 − 10·3 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 22.5 = 12.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22.5/0.8321 = −27.04 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−27.04)·0.5547 = 15 kN

答え

FAC = 15 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: θA = 0.03 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

端部のたわみ角

θA = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·2.4 × 10¹²) = 0.03 rad

答え

θA = 0.03 rad

これは 1.719° です。

8.はりのたわみ

答え: Ireq = 230.1 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·3000⁴/(384·11000·8.333) = 2.301 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 230.1 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 230.1 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 70.18 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·3000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3000² = 70184 N = 70.18 kN

答え

Pcr = 70.18 kN
10.柱の座屈

答え: d = 68.53 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 68.53 mm

答え

d = 68.53 mm

確認：細長比 KL/r は 175.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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