熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
350 g のCH₄P = 300 kPaT = 90 °CV = ?

300 kPa、90 °C において、CH₄ 350 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 350 gM = 16.04 g/molP = 300 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のO₂が 350 kPa、2 L、15 °C から 550 kPa、210 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 350 kPaV1 = 2 LT1 = 15 °CP2 = 550 kPaT2 = 210 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側グリコール混合液 · 170 °C70 °C水 · 20 °Ct = ? °C

高温のグリコール混合液が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 70 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 150 °C80 °C水 · 10 °C55 °C · ṁ = ?損失 15%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 80 °Ct: 10 → 55 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 625 °CTL​ = ?EQH​ = 4700 kJQL​ = 1534 kJW

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 625 °C の熱源から 4700 kJ の熱を受け取り、1534 kJ を放出する。低温熱源の温度 TL を °C で求めよ。

TH = 625 °CQH = 4700 kJQL = 1534 kJ
TL = °C
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 21 °CTL​ = 10 °CHPQ̇H​ = 6.5 kWQ̇L​Ẇ = ?

ヒートポンプが 10 °C の熱源から熱をくみ上げ、21 °C の暖房システムに 6.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 45% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

TH = 21 °CTL = 10 °CηII = 45%Q̇H = 6.5 kW
Ẇ = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 22、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.2 である。 圧縮開始時の空気の温度は 300 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 22rc = 2.2T1 = 300 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 10 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 310 K で圧縮機に入り、1300 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 10T1 = 310 KT3 = 1300 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 219.6 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 350/16.04 = 21.82 mol
T = 90 + 273.15 = 363.1 K

体積

V = nRT/P = 21.82·8.314·363.1/300 = 219.6 L

答え

V = 219.6 L
2.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 2.134 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 288.1 K, T2 = 483.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(350/550)·(483.1/288.1) = 2.134 L

答え

V2 = 2.134 L
3.エネルギー収支

答え: tout = 134.8 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 2·3.6·(170 − 70) = 720 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 720/(1.5·4.18) = 134.8 °C

答え

tout = 134.8 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 1.661 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 2.5·2.1·(150 − 80) = 367.5 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.15)·367.5 = 312.4 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 312.4/(4.18·45) = 1.661 kg/s

答え

ṁc = 1.661 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: TL = 19.99 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

熱源の絶対温度

TH = 625 + 273.15 = 898.1 K

可逆サイクルの熱量比

TL = TH·QL/QH = 898.1·1534/4700 = 293.1 K = 19.99 °C

答え

TL = 19.99 °C
6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 0.5402 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー COP と実際の COP

COPmax = 294.1/(294.1 − 283.1) = 26.74
COP = 0.45·26.74 = 12.03

入力動力

Ẇ = Q̇H/COP = 6.5/12.03 = 0.5402 kW

答え

Ẇ = 0.5402 kW
7.ガスサイクル

答え: T3 = 2273 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 300·220.4 = 1033 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 2.2·1033 = 2273 K

答え

T3 = 2273 K
8.ガスサイクル

答え: wnet = 339.8 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2 = 310·100.2857 = 598.5 K
T4 = 1300/100.2857 = 673.3 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(598.5 − 310) = 290 kJ/kg
wt = 1.005·(1300 − 673.3) = 629.8 kJ/kg

正味仕事

wnet = 629.8 − 290 = 339.8 kJ/kg

答え

wnet = 339.8 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 46.04%。

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