熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
320 g のCH₄P = 150 kPaT = 85 °CV = ?

150 kPa、85 °C において、CH₄ 320 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 320 gM = 16.04 g/molP = 150 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
CO₂, M = 44.01 g/molP = 200 kPaT = 120 °Cρ = ?

200 kPa、120 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 200 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 140 °C70 °C水 · 30 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 180 °C80 °C水 · 10 °C75 °C · ṁ = ?損失 10%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 10% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 80 °Ct: 10 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 550 °CTL​ = 10 °CEQH​QL​η = 46%

熱機関が 550 °C の熱源から熱を受け取り、10 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 46% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 550 °CTL = 10 °Cη = 46%
ηII = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 20 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 4 kWQ̇L​Ẇ = ?

ヒートポンプが、外気 2 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 4 kW の熱を供給する。 必要な最小入力動力 Ẇmin を求めよ。

TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 4 kW
Ẇmin = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 15、締切比は rc = v₃/v₂ = 1.5 である。 圧縮開始時の空気の温度は 305 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 15rc = 1.5T1 = 305 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 10 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 295 K で圧縮機に入り、1200 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 10T1 = 295 KT3 = 1200 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 396 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 320/16.04 = 19.95 mol
T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体積

V = nRT/P = 19.95·8.314·358.1/150 = 396 L

答え

V = 396 L
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.693 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 200·44.01/(8.314·393.1) = 2.693 kg/m³

答え

ρ = 2.693 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 65.17 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 3·2.1·(140 − 70) = 441 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 441/(3·4.18) = 65.17 °C

答え

tout = 65.17 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 1.043 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 1.5·2.1·(180 − 80) = 315 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.1)·315 = 283.5 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 283.5/(4.18·65) = 1.043 kg/s

答え

ṁc = 1.043 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 70.12 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 550 + 273.15 = 823.1 K
TL = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 283.1/823.1 = 65.6 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 46/65.6 = 70.12 %

答え

ηII = 70.12 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇmin = 0.2456 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能な最良の COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇmin = Q̇H/COP = 4/16.29 = 0.2456 kW

答え

Ẇmin = 0.2456 kW
7.ガスサイクル

答え: T3 = 1352 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 305·150.4 = 901 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 1.5·901 = 1352 K

答え

T3 = 1352 K
8.ガスサイクル

答え: wnet = 305.4 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2 = 295·100.2857 = 569.6 K
T4 = 1200/100.2857 = 621.5 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(569.6 − 295) = 275.9 kJ/kg
wt = 1.005·(1200 − 621.5) = 581.4 kJ/kg

正味仕事

wnet = 581.4 − 275.9 = 305.4 kJ/kg

答え

wnet = 305.4 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 47.46%。

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1