熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜熱: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）: T₂/T₁ = r^k−1
等エントロピー変化（圧力比）: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
オットーサイクルの効率: η = 1 − 1/r^k−1
ディーゼルサイクルの効率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ブレイトンサイクルの効率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
加熱量: オットー：c_v(T₃ − T₂) ディーゼル、ブレイトン：c_p(T₃ − T₂)
ブレイトンサイクルの正味仕事: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
断熱効率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空気標準: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 25 °C のCH₄が 280 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 280 gM = 16.04 g/molV = 5 LT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCO₂が 250 kPa、10 L、40 °C から 300 kPa、220 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 220 °C

V₂ = L

3.エネルギー収支ふつう

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 t_out を求めよ。

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.エネルギー収支むずかしい

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁ_c を求めよ。

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 60 °Ct: 30 → 80 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 600 °C の熱源から 3700 kJ の熱を受け取り、1157 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 600 °CQ_H = 3700 kJQ_L = 1157 kJ

T_L = °C

6.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 450 °C の熱源から 2700 kJ の熱を受け取り、1134 kJ の仕事をして、残りを 20 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 450 °CT_L = 20 °CQ_H = 2700 kJW = 1134 kJ

S_gen = kJ/K

7.ガスサイクルふつう

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 14、締切比は r_c = v₃/v₂ = 3 である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r = 14r_c = 3k = 1.4

η = %

8.ガスサイクルむずかしい

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 12 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 300 K で圧縮機に入り、1400 K でタービンに入る。圧縮機の断熱効率は 82%、タービンの断熱効率は 88% である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの正味仕事 w_net を kJ/kg で求めよ。

r_p = 12T₁ = 300 KT₃ = 1400 Kη_c = 82%η_t = 88%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 8654 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 280/16.04 = 17.46 mol

T = 25 + 273.15 = 298.1 K

圧力

P = nRT/V = 17.46·8.314·298.1/0.005 = 8654 kPa

答え

P = 8654 kPa

2.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 13.12 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 493.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/300)·(493.1/313.1) = 13.12 L

答え

V₂ = 13.12 L

3.エネルギー収支

答え: t_out = 95.05 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

高温流体が放出する熱

Q = 2·2.44·(130 − 70) = 292.8 kW

水が受け取る熱

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 292.8/(1·4.18) = 95.05 °C

答え

t_out = 95.05 °C

4.エネルギー収支

答え: ṁ_c = 1.527 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Q_h = 2·2.1·(140 − 60) = 336 kW

水に届く熱

Q_c = (1 − 0.05)·336 = 319.2 kW

水の流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 319.2/(4.18·50) = 1.527 kg/s

答え

ṁ_c = 1.527 kg/s

5.熱機関と冷凍機

答え: T_L = −0.1136 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 873.1·1157/3700 = 273 K = −0.1136 °C

答え

T_L = −0.1136 °C

6.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 1.608 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 2700 − 1134 = 1566 kJ

絶対温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −2700/723.1 = −3.734 kJ/K

ΔS_L = 1566/293.1 = 5.342 kJ/K

S_gen = 5.342 − 3.734 = 1.608 kJ/K

答え

S_gen = 1.608 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

7.ガスサイクル

答え: η = 54.57 %

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 r_c = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、T₃ = r_c·T₂、q_in = c_p·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)) です。

締切比の項

(3^1.4 − 1)/(1.4·(3 − 1)) = 1.306

熱効率

η = 1 − 0.348·1.306 = 54.57%

答え

η = 54.57%

8.ガスサイクル

答え: w_net = 249.2 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 r_p = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k、T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k、η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k です。正味仕事 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には w_s/η_c が必要で、タービンは η_t·w_s を出します。

等エントロピー変化後の温度

T_2s = 300·12^0.2857 = 610.2 K

T_4s = 1400/12^0.2857 = 688.3 K

圧縮機仕事とタービン仕事

w_c = 1.005·(610.2 − 300)/0.82 = 380.2 kJ/kg

w_t = 0.88·1.005·(1400 − 688.3) = 629.4 kJ/kg

正味仕事

w_net = 629.4 − 380.2 = 249.2 kJ/kg

答え

w_net = 249.2 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：w_c/w_t = 60.4%。

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