熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
240 g のN₂P = 400 kPaT = 5 °CV = ?

400 kPa、5 °C において、N₂ 240 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 240 gM = 28.01 g/molP = 400 kPaT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のN₂が 250 kPa、5 L、20 °C から 800 kPa、150 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 250 kPaV1 = 5 LT1 = 20 °CP2 = 800 kPaT2 = 150 °C
V2 = L
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側エタノール · 140 °C110 °C水 · 30 °Ct = ? °C

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側エタノール · 140 °C80 °C水 · 30 °C70 °C · ṁ = ?損失 10%

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 10% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 80 °Ct: 30 → 70 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 600 °CTL​ = 35 °CEQH​ = 3300 kJQL​W = ?

熱機関が 600 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。 この機関は 3300 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 Wmax を求めよ。

TH = 600 °CTL = 35 °CQH = 3300 kJ
Wmax = kJ
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 550 °CT0​ = 25 °CTL​ = -5 °CERWQ̇H​ = 20 kWQ̇L​ = ?

カルノー熱機関が 550 °C の熱源から 20 kW の熱を受け取り、25 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -5 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 25 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇L を求めよ。

TH = 550 °CT0 = 25 °CTL = -5 °CQ̇H = 20 kW
Q̇L = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 17、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.2 である。 圧縮開始時の空気の温度は 295 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 17rc = 2.2T1 = 295 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 6 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 310 K で圧縮機に入り、1300 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 6T1 = 310 KT3 = 1300 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 49.54 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 240/28.01 = 8.568 mol
T = 5 + 273.15 = 278.1 K

体積

V = nRT/P = 8.568·8.314·278.1/400 = 49.54 L

答え

V = 49.54 L
2.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 2.255 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 293.1 K, T2 = 423.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(250/800)·(423.1/293.1) = 2.255 L

答え

V2 = 2.255 L
3.エネルギー収支

答え: tout = 35.84 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 0.5·2.44·(140 − 110) = 36.6 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 36.6/(1.5·4.18) = 35.84 °C

答え

tout = 35.84 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 0.394 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 0.5·2.44·(140 − 80) = 73.2 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.1)·73.2 = 65.88 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 65.88/(4.18·40) = 0.394 kg/s

答え

ṁc = 0.394 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: Wmax = 2135 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 600 + 273.15 = 873.1 K
TL = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 308.1/873.1 = 64.71 %

最大仕事

Wmax = ηmax·QH = 0.6471·3300 = 2135 kJ

答え

Wmax = 2135 kJ
6.熱機関と冷凍機

答え: Q̇L = 114 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 550 + 273.15 = 823.1 K
T0 = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K

機関の仕事

η = 1 − 298.1/823.1 = 0.6378
Ẇ = 0.6378·20 = 12.76 kW

冷凍機が取り除く熱

COPR = 268.1/(298.1 − 268.1) = 8.938
Q̇L = 8.938·12.76 = 114 kW

答え

Q̇L = 114 kW
7.ガスサイクル

答え: T3 = 2016 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 295·170.4 = 916.2 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 2.2·916.2 = 2016 K

答え

T3 = 2016 K
8.ガスサイクル

答え: wnet = 315.2 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2 = 310·60.2857 = 517.2 K
T4 = 1300/60.2857 = 779.1 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(517.2 − 310) = 208.3 kJ/kg
wt = 1.005·(1300 − 779.1) = 523.5 kJ/kg

正味仕事

wnet = 523.5 − 208.3 = 315.2 kJ/kg

答え

wnet = 315.2 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 39.79%。

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