熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜熱: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）: T₂/T₁ = r^k−1
等エントロピー変化（圧力比）: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
オットーサイクルの効率: η = 1 − 1/r^k−1
ディーゼルサイクルの効率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ブレイトンサイクルの効率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
加熱量: オットー：c_v(T₃ − T₂) ディーゼル、ブレイトン：c_p(T₃ − T₂)
ブレイトンサイクルの正味仕事: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
断熱効率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空気標準: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう

容積 30 L のタンクに、温度 65 °C のHeが 220 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 220 gM = 4.003 g/molV = 30 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のN₂が 250 kPa、5 L、35 °C から 600 kPa、70 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 250 kPaV₁ = 5 LT₁ = 35 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

3.エネルギー収支ふつう

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 t_out を求めよ。

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 80 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.エネルギー収支むずかしい

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁ_c を求めよ。

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 130 °Ct: 25 → 90 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 650 °C の高温熱源と 40 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1500 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 650 °CT_L = 40 °CQ_H = 1500 kJ

W_max = kJ

6.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 400 °C の熱源から 4500 kJ の熱を受け取り、1935 kJ の仕事をして、残りを 35 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 400 °CT_L = 35 °CQ_H = 4500 kJW = 1935 kJ

S_gen = kJ/K

7.ガスサイクルふつう

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 16、締切比は r_c = v₃/v₂ = 3 である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r = 16r_c = 3k = 1.4

η = %

8.ガスサイクルむずかしい

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 18 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 310 K で圧縮機に入り、1200 K でタービンに入る。圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの正味仕事 w_net を kJ/kg で求めよ。

r_p = 18T₁ = 310 KT₃ = 1200 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 5150 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 220/4.003 = 54.96 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

圧力

P = nRT/V = 54.96·8.314·338.1/0.03 = 5150 kPa

答え

P = 5150 kPa

2.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 2.32 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 308.1 K, T₂ = 343.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(250/600)·(343.1/308.1) = 2.32 L

答え

V₂ = 2.32 L

3.エネルギー収支

答え: t_out = 123.4 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

高温流体が放出する熱

Q = 2·2.44·(160 − 80) = 390.4 kW

水が受け取る熱

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 390.4/(1·4.18) = 123.4 °C

答え

t_out = 123.4 °C

4.エネルギー収支

答え: ṁ_c = 1.024 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Q_h = 3·2.44·(170 − 130) = 292.8 kW

水に届く熱

Q_c = (1 − 0.05)·292.8 = 278.2 kW

水の流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 278.2/(4.18·65) = 1.024 kg/s

答え

ṁ_c = 1.024 kg/s

5.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 991.2 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/923.1 = 66.08 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6608·1500 = 991.2 kJ

答え

W_max = 991.2 kJ

6.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 1.639 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 4500 − 1935 = 2565 kJ

絶対温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −4500/673.1 = −6.685 kJ/K

ΔS_L = 2565/308.1 = 8.324 kJ/K

S_gen = 8.324 − 6.685 = 1.639 kJ/K

答え

S_gen = 1.639 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

7.ガスサイクル

答え: η = 56.93 %

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 r_c = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、T₃ = r_c·T₂、q_in = c_p·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)) です。

締切比の項

(3^1.4 − 1)/(1.4·(3 − 1)) = 1.306

熱効率

η = 1 − 0.3299·1.306 = 56.93%

答え

η = 56.93%

8.ガスサイクル

答え: w_net = 278 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 r_p = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k、T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k、η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k です。正味仕事 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には w_s/η_c が必要で、タービンは η_t·w_s を出します。

等エントロピー変化後の温度

T₂ = 310·18^0.2857 = 708 K

T₄ = 1200/18^0.2857 = 525.5 K

圧縮機仕事とタービン仕事

w_c = 1.005·(708 − 310) = 400 kJ/kg

w_t = 1.005·(1200 − 525.5) = 677.9 kJ/kg

正味仕事

w_net = 677.9 − 400 = 278 kJ/kg

答え

w_net = 278 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：w_c/w_t = 59%。

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1