熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
100 g のCH₄V = 5 LT = 25 °CP = ?

容積 5 L のタンクに、温度 25 °C のCH₄が 100 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 100 gM = 16.04 g/molV = 5 LT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
CH₄, M = 16.04 g/molP = 1000 kPaT = 50 °Cρ = ?

1000 kPa、50 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 1000 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側グリコール混合液 · 130 °C60 °C水 · 20 °Ct = ? °C

高温のグリコール混合液が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 140 °C110 °C水 · 15 °C35 °C · ṁ = ?損失 15%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Ct: 15 → 35 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 900 °CTL​ = 30 °CEQH​QL​η = 30%

熱機関が 900 °C の熱源から熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 30% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 900 °CTL = 30 °Cη = 30%
ηII = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 55 °CTL​ = -10 °CHPQ̇H​ = 12.5 kWQ̇L​Ẇ = ?

ヒートポンプが -10 °C の熱源から熱をくみ上げ、55 °C の暖房システムに 12.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 35% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

TH = 55 °CTL = -10 °CηII = 35%Q̇H = 12.5 kW
Ẇ = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 19、締切比は rc = v₃/v₂ = 2 である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r = 19rc = 2k = 1.4
η = %
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 6 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 290 K で圧縮機に入り、1500 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 6T1 = 290 KT3 = 1500 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 3091 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 100/16.04 = 6.234 mol
T = 25 + 273.15 = 298.1 K

圧力

P = nRT/V = 6.234·8.314·298.1/0.005 = 3091 kPa

答え

P = 3091 kPa
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 5.97 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 50 + 273.15 = 323.1 K

密度

ρ = 1000·16.04/(8.314·323.1) = 5.97 kg/m³

答え

ρ = 5.97 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 50.14 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 1.5·3.6·(130 − 60) = 378 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 378/(3·4.18) = 50.14 °C

答え

tout = 50.14 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 0.3203 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 0.5·2.1·(140 − 110) = 31.5 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.15)·31.5 = 26.77 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 26.77/(4.18·20) = 0.3203 kg/s

答え

ṁc = 0.3203 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 40.45 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 900 + 273.15 = 1173 K
TL = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 303.1/1173 = 74.16 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 30/74.16 = 40.45 %

答え

ηII = 40.45 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 7.074 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 55 + 273.15 = 328.1 K
TL = -10 + 273.15 = 263.1 K

カルノー COP と実際の COP

COPmax = 328.1/(328.1 − 263.1) = 5.048
COP = 0.35·5.048 = 1.767

入力動力

Ẇ = Q̇H/COP = 12.5/1.767 = 7.074 kW

答え

Ẇ = 7.074 kW
7.ガスサイクル

答え: η = 63.95 %

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

締切比の項

(21.4 − 1)/(1.4·(2 − 1)) = 1.171

熱効率

η = 1 − 0.308·1.171 = 63.95%

答え

η = 63.95%
8.ガスサイクル

答え: wnet = 409.2 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2 = 290·60.2857 = 483.9 K
T4 = 1500/60.2857 = 899 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(483.9 − 290) = 194.8 kJ/kg
wt = 1.005·(1500 − 899) = 604 kJ/kg

正味仕事

wnet = 604 − 194.8 = 409.2 kJ/kg

答え

wnet = 409.2 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 32.26%。

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