熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
190 g のN₂P = 550 kPaT = 35 °CV = ?

550 kPa、35 °C において、N₂ 190 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 190 gM = 28.01 g/molP = 550 kPaT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
CO₂, M = 44.01 g/molP = 700 kPaT = 60 °Cρ = ?

700 kPa、60 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 700 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 130 °C100 °C水 · 20 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 130 → 100 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側グリコール混合液 · 160 °C130 °C水 · 10 °C25 °C · ṁ = ?損失 15%

高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 130 °Ct: 10 → 25 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 475 °CTL​ = ?EQH​ = 2500 kJQL​ = 946 kJW

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 475 °C の熱源から 2500 kJ の熱を受け取り、946 kJ を放出する。低温熱源の温度 TL を °C で求めよ。

TH = 475 °CQH = 2500 kJQL = 946 kJ
TL = °C
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 950 °CT0​ = 25 °CTL​ = -15 °CERWQ̇H​ = 60 kWQ̇L​ = ?

カルノー熱機関が 950 °C の熱源から 60 kW の熱を受け取り、25 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -15 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 25 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇L を求めよ。

TH = 950 °CT0 = 25 °CTL = -15 °CQ̇H = 60 kW
Q̇L = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 19、締切比は rc = v₃/v₂ = 3 である。 圧縮開始時の空気の温度は 310 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 加熱終わりの温度 T3 を K で求めよ。

r = 19rc = 3T1 = 310 Kk = 1.4
T3 = K
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 12 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 288 K で圧縮機に入り、1200 K でタービンに入る。 圧縮機もタービンも等エントロピー的に作動する。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 12T1 = 288 KT3 = 1200 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: V = 31.6 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 190/28.01 = 6.783 mol
T = 35 + 273.15 = 308.1 K

体積

V = nRT/P = 6.783·8.314·308.1/550 = 31.6 L

答え

V = 31.6 L
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 11.12 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

密度

ρ = 700·44.01/(8.314·333.1) = 11.12 kg/m³

答え

ρ = 11.12 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 50.14 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 2·2.1·(130 − 100) = 126 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 126/(1·4.18) = 50.14 °C

答え

tout = 50.14 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 2.928 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 2·3.6·(160 − 130) = 216 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.15)·216 = 183.6 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 183.6/(4.18·15) = 2.928 kg/s

答え

ṁc = 2.928 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: TL = 9.95 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

熱源の絶対温度

TH = 475 + 273.15 = 748.1 K

可逆サイクルの熱量比

TL = TH·QL/QH = 748.1·946/2500 = 283.1 K = 9.95 °C

答え

TL = 9.95 °C
6.熱機関と冷凍機

答え: Q̇L = 292.8 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 950 + 273.15 = 1223 K
T0 = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = -15 + 273.15 = 258.1 K

機関の仕事

η = 1 − 298.1/1223 = 0.7562
Ẇ = 0.7562·60 = 45.37 kW

冷凍機が取り除く熱

COPR = 258.1/(298.1 − 258.1) = 6.454
Q̇L = 6.454·45.37 = 292.8 kW

答え

Q̇L = 292.8 kW
7.ガスサイクル

答え: T3 = 3020 K

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

圧縮の終わり

T2 = 310·190.4 = 1007 K

等圧加熱

T3 = rc·T2 = 3·1007 = 3020 K

答え

T3 = 3020 K
8.ガスサイクル

答え: wnet = 313.8 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2 = 288·120.2857 = 585.8 K
T4 = 1200/120.2857 = 590 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(585.8 − 288) = 299.3 kJ/kg
wt = 1.005·(1200 − 590) = 613.1 kJ/kg

正味仕事

wnet = 613.1 − 299.3 = 313.8 kJ/kg

答え

wnet = 313.8 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 48.81%。

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