理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
熱力学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
熱機関と冷凍機
- 効率
- η = W/QH = 1 − QC/QH
- カルノー効率
- ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
- 冷凍機の COP
- COPR = QC/W
- ヒートポンプの COP
- COPHP = QH/W = COPR + 1
- エネルギー収支
- QH = W + QC
ガスサイクル
- 等エントロピー変化（体積比）
- T2/T1 = rk−1
- 等エントロピー変化（圧力比）
- T2/T1 = rp(k−1)/k
- オットーサイクルの効率
- η = 1 − 1/rk−1
- ディーゼルサイクルの効率
- η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
- ブレイトンサイクルの効率
- η = 1 − 1/rp(k−1)/k
- 加熱量
- オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
- ブレイトンサイクルの正味仕事
- w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
- 断熱効率
- wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
- 冷空気標準
- k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)
2演習問題
1.理想気体の状態方程式ふつう
550 kPa、60 °C において、CH₄ 210 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。
m = 210 gM = 16.04 g/molP = 550 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
2.理想気体の状態方程式むずかしい
500 kPa、60 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。
M = 32 g/molP = 500 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 180 → 60 °Ct: 10 → 35 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
熱機関が 400 °C の高温熱源と 20 °C の低温熱源の間で働く。 この機関は 4500 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 Wmax を求めよ。
TH = 400 °CTL = 20 °CQH = 4500 kJ
Wmax = kJ
6.熱機関と冷凍機むずかしい
冷蔵庫が、30 °C のキッチンで冷蔵室を -18 °C に保ち、冷蔵室から 0.5 kW の熱を取り除く。 可能な最大の成績係数 COPmax を求めよ。
TH = 30 °CTL = -18 °CQ̇L = 0.5 kW
COPmax =
7.ガスサイクルふつう
理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 19、締切比は rc = v₃/v₂ = 2.2 である。 圧縮開始時の空気の温度は 295 K である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの加熱量 qin を kJ/kg で求めよ。
r = 19rc = 2.2T1 = 295 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.ガスサイクルむずかしい
理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 14 で運転されている。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。
rp = 14k = 1.4
η = %
3溶液
1.理想気体の状態方程式
答え: V = 65.93 L
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = 210/16.04 = 13.09 mol
T = 60 + 273.15 = 333.1 K
体積
V = nRT/P = 13.09·8.314·333.1/550 = 65.93 L
答え
V = 65.93 L
2.理想気体の状態方程式
答え: ρ = 5.777 kg/m³
理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。
状態方程式を変形する
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 60 + 273.15 = 333.1 K
密度
ρ = 500·32/(8.314·333.1) = 5.777 kg/m³
答え
ρ = 5.777 kg/m³
3.エネルギー収支
答え: tout = 24.38 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 0.5·2.44·(140 − 110) = 36.6 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 36.6/(2·4.18) = 24.38 °C
答え
tout = 24.38 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 3.927 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 1·3.6·(180 − 60) = 432 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.05)·432 = 410.4 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 410.4/(4.18·25) = 3.927 kg/s
答え
ṁc = 3.927 kg/s
5.熱機関と冷凍機
答え: Wmax = 2540 kJ
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 400 + 273.15 = 673.1 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K
カルノー効率
ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 293.1/673.1 = 56.45 %
最大仕事
Wmax = ηmax·QH = 0.5645·4500 = 2540 kJ
答え
Wmax = 2540 kJ
6.熱機関と冷凍機
答え: COPmax = 5.316
第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。
絶対温度
TH = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = -18 + 273.15 = 255.1 K
可能な最良の COP
COPR,max = TL/(TH − TL) = 255.1/(303.1 − 255.1) = 5.316
答え
COPmax = 5.316
7.ガスサイクル
答え: qin = 1155 kJ/kg
ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。
温度
T2 = 295·190.4 = 957.9 K
T3 = 2.2·957.9 = 2107 K
等圧加熱量
qin = 1.005·(2107 − 957.9) = 1155 kJ/kg
答え
qin = 1155 kJ/kg
8.ガスサイクル
答え: η = 52.95 %
ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。
熱効率
η = 1 − 1/140.2857 = 1 − 1/2.126 = 52.95%
答え
η = 52.95%
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