熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱: Q = ṁ·c_p·ΔT
潜熱: Q = ṁ·h_fg
混合: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
水: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）: T₂/T₁ = r^k−1
等エントロピー変化（圧力比）: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
オットーサイクルの効率: η = 1 − 1/r^k−1
ディーゼルサイクルの効率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ブレイトンサイクルの効率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
加熱量: オットー：c_v(T₃ − T₂) ディーゼル、ブレイトン：c_p(T₃ − T₂)
ブレイトンサイクルの正味仕事: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
断熱効率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空気標準: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 50 °C のHeが 360 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 360 gM = 4.003 g/molV = 5 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のO₂が 200 kPa、5 L、20 °C から 250 kPa、90 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 20 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

3.エネルギー収支ふつう

高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 t_out を求めよ。

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 80 °Cṁ_c = 1.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.エネルギー収支むずかしい

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁ_c を求めよ。

ṁ_h = 1.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 120 °Ct: 20 → 40 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 600 °C の高温熱源と 20 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 3900 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 600 °CT_L = 20 °CQ_H = 3900 kJ

W_max = kJ

6.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 5 °C の熱源から熱をくみ上げ、21 °C の暖房システムに 11.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 50% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 21 °CT_L = 5 °Cη_II = 50%Q̇_H = 11.5 kW

Ẇ = kW

7.ガスサイクルふつう

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 16、締切比は r_c = v₃/v₂ = 2 である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r = 16r_c = 2k = 1.4

η = %

8.ガスサイクルむずかしい

理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 14 で運転されている。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r_p = 14k = 1.4

η = %

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 48324 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 360/4.003 = 89.93 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

圧力

P = nRT/V = 89.93·8.314·323.1/0.005 = 48324 kPa

答え

P = 48324 kPa

2.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 4.955 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 363.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/250)·(363.1/293.1) = 4.955 L

答え

V₂ = 4.955 L

3.エネルギー収支

答え: t_out = 102.8 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)。

高温流体が放出する熱

Q = 2·2.44·(180 − 80) = 488 kW

水が受け取る熱

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 488/(1.5·4.18) = 102.8 °C

答え

t_out = 102.8 °C

4.エネルギー収支

答え: ṁ_c = 1.116 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Q_h = 1.5·2.44·(150 − 120) = 109.8 kW

水に届く熱

Q_c = (1 − 0.15)·109.8 = 93.33 kW

水の流量

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 93.33/(4.18·20) = 1.116 kg/s

答え

ṁ_c = 1.116 kg/s

5.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2591 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/873.1 = 66.43 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6643·3900 = 2591 kJ

答え

W_max = 2591 kJ

6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 1.251 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 294.1/(294.1 − 278.1) = 18.38

COP = 0.5·18.38 = 9.192

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 11.5/9.192 = 1.251 kW

答え

Ẇ = 1.251 kW

7.ガスサイクル

答え: η = 61.38 %

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 r_c = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、T₃ = r_c·T₂、q_in = c_p·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)) です。

締切比の項

(2^1.4 − 1)/(1.4·(2 − 1)) = 1.171

熱効率

η = 1 − 0.3299·1.171 = 61.38%

答え

η = 61.38%

8.ガスサイクル

答え: η = 52.95 %

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 r_p = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k、T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k、η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k です。正味仕事 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には w_s/η_c が必要で、タービンは η_t·w_s を出します。

熱効率

η = 1 − 1/14^0.2857 = 1 − 1/2.126 = 52.95%

答え

η = 52.95%

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