熱力学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

ガスサイクル

等エントロピー変化（体積比）
T2/T1 = rk−1
等エントロピー変化（圧力比）
T2/T1 = rp(k−1)/k
オットーサイクルの効率
η = 1 − 1/rk−1
ディーゼルサイクルの効率
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ブレイトンサイクルの効率
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
加熱量
オットー：cv(T3 − T2) ディーゼル、ブレイトン：cp(T3 − T2)
ブレイトンサイクルの正味仕事
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
断熱効率
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
冷空気標準
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2演習問題

1.理想気体の状態方程式ふつう
450 g のArV = 30 LT = 20 °CP = ?

容積 30 L のタンクに、温度 20 °C のArが 450 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 450 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.理想気体の状態方程式むずかしい
Ar, M = 39.95 g/molP = 600 kPaT = 60 °Cρ = ?

600 kPa、60 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 600 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側グリコール混合液 · 120 °C60 °C水 · 10 °Ct = ? °C

高温のグリコール混合液が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 60 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側エタノール · 180 °C110 °C水 · 25 °C45 °C · ṁ = ?損失 10%

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 10% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 110 °Ct: 25 → 45 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 600 °CTL​ = 40 °CEQH​QL​η = 42%

熱機関が 600 °C の熱源から熱を受け取り、40 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 42% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 600 °CTL = 40 °Cη = 42%
ηII = %
6.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 21 °CTL​ = -5 °CHPQ̇H​ = 18.5 kWQ̇L​Ẇ = ?

ヒートポンプが -5 °C の熱源から熱をくみ上げ、21 °C の暖房システムに 18.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 45% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

TH = 21 °CTL = -5 °CηII = 45%Q̇H = 18.5 kW
Ẇ = kW
7.ガスサイクルふつう
vP1234qin​qout​

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 18、締切比は rc = v₃/v₂ = 1.8 である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r = 18rc = 1.8k = 1.4
η = %
8.ガスサイクルむずかしい
vP1234qin​qout​

ガスタービン発電設備が、圧縮機の圧力比 16 のブレイトンサイクルで運転されている。空気は 288 K で圧縮機に入り、1400 K でタービンに入る。 圧縮機の断熱効率は 85%、タービンの断熱効率は 88% である。 冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、cp = 1.005 kJ/(kg·K)、cv = 0.718 kJ/(kg·K) とする。 空気 1 kg あたりの正味仕事 wnet を kJ/kg で求めよ。

rp = 16T1 = 288 KT3 = 1400 Kηc = 85%ηt = 88%k = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3溶液

1.理想気体の状態方程式

答え: P = 915.1 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 450/39.95 = 11.26 mol
T = 20 + 273.15 = 293.1 K

圧力

P = nRT/V = 11.26·8.314·293.1/0.03 = 915.1 kPa

答え

P = 915.1 kPa
2.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 8.654 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

密度

ρ = 600·39.95/(8.314·333.1) = 8.654 kg/m³

答え

ρ = 8.654 kg/m³
3.エネルギー収支

答え: tout = 44.45 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 1·3.6·(120 − 60) = 216 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 216/(1.5·4.18) = 44.45 °C

答え

tout = 44.45 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 5.516 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 3·2.44·(180 − 110) = 512.4 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.1)·512.4 = 461.2 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 461.2/(4.18·20) = 5.516 kg/s

答え

ṁc = 5.516 kg/s
5.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 65.49 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 600 + 273.15 = 873.1 K
TL = 40 + 273.15 = 313.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 313.1/873.1 = 64.14 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 42/64.14 = 65.49 %

答え

ηII = 65.49 %
6.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 3.634 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K

カルノー COP と実際の COP

COPmax = 294.1/(294.1 − 268.1) = 11.31
COP = 0.45·11.31 = 5.091

入力動力

Ẇ = Q̇H/COP = 18.5/5.091 = 3.634 kW

答え

Ẇ = 3.634 kW
7.ガスサイクル

答え: η = 64.12 %

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 rc = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、T₃ = rc·T₂、qin = cp·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)) です。

締切比の項

(1.81.4 − 1)/(1.4·(1.8 − 1)) = 1.14

熱効率

η = 1 − 0.3147·1.14 = 64.12%

答え

η = 64.12%
8.ガスサイクル

答え: wnet = 266 kJ/kg

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 rp = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·rp(k−1)/k、T₄ = T₃/rp(k−1)/k、η = 1 − 1/rp(k−1)/k です。正味仕事 w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には ws/ηc が必要で、タービンは ηt·ws を出します。

等エントロピー変化後の温度

T2s = 288·160.2857 = 636 K
T4s = 1400/160.2857 = 634 K

圧縮機仕事とタービン仕事

wc = 1.005·(636 − 288)/0.85 = 411.4 kJ/kg
wt = 0.88·1.005·(1400 − 634) = 677.4 kJ/kg

正味仕事

wnet = 677.4 − 411.4 = 266 kJ/kg

答え

wnet = 266 kJ/kg

後退仕事比（バックワーク比）：wc/wt = 60.73%。

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