解答つき多変数の微分積分ワークシート

無料で印刷できる多変数の微分積分のワークシート：やさしい問題から試験レベルまで 6 問、解答つき。印刷するか PDF で保存できます。

新しいワークシートヒントつきでオンライン練習

先生方へ： 授業で自由に印刷・コピーしてお使いいただけます。新しいワークシートごとに数値が変わり、専用の解答が付きます。授業ページに ExamProblems へのリンクを載せていただけると嬉しいです。

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1.やさしい
xy−12P

f(x, y) = 2 ln(x² + y²) について、点 (−1, 2) での偏導関数 ∂f/∂y を求めてください。

f(x, y) = 2 ln(x² + y²)P = (−1, 2)
fy(−1, 2) =
2.やさしい
xyx = 1x = 2y = 5y = 21252

長方形 1 ≤ x ≤ 2、2 ≤ y ≤ 5 上で、I = ∫12 ∫25 (−2xy − 2) dy dx を計算してください。

f = −2xy − 21 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 5
I =
3.ふつう

z = −4x²y + 5x³ − 2y² − xy、x = −2t − 2、y = −2t² + 2 です。連鎖律を使って、t = 2 での dz/dt を求めてください。

z = −4x²y + 5x³ − 2y² − xyx = −2t − 2y = −2t² + 2t = 2
dz/dt =
4.ふつう
xy23∇fP

f(x, y) = 5x²y³ + 4y² + 2xy について、点 (2, 3) での f の変化率の最大値、つまり |∇f| を求めてください。

f(x, y) = 5x²y³ + 4y² + 2xyP = (2, 3)
|∇f| =
5.むずかしい
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy は (−1, −1) に臨界点をもちます。そこでの判別式 D = fxxfyy − fxy² を計算してください。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (−1, −1)
D =
6.むずかしい
xyx = 0.8y = x0.8

積分 I = ∫00.8 ∫y0.8 1/(1 + x²)² dx dy は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 0.8
I =

解答

  1. 1. fy(−1, 2) = 1.6
  2. 2. I = −37.5
  3. 3. dz/dt = 396
  4. 4. |∇f| = 787.9
  5. 5. D = 128
  6. 6. I = 0.1951

ステップごとの詳しい解答：このトピックは examproblems.com で練習できます。